Bu soruda, bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış halini ve pozitif tam sayı bölen sayısını kullanarak $m$ ve $n$ değerlerini bulup çarpımlarını hesaplayacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Asal Çarpanlara Ayırma ve Bölen Sayısı İlişkisini Anlayalım
- Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_k^{a_k}$ şeklinde ise, bu sayının pozitif tam sayı bölen sayısı $(a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)$ formülü ile bulunur.
- Soruda verilen sayı $2^m \times 3^n$ şeklindedir. Burada $p_1=2$, $a_1=m$ ve $p_2=3$, $a_2=n$ olarak düşünebiliriz.
- 2. Adım: Bölen Sayısı Formülünü Uygulayalım
- Verilen sayının pozitif tam sayı bölen sayısı 15'tir. Yukarıdaki formülü kullanarak:
- $(m+1)(n+1) = 15$
- 3. Adım: 15 Sayısının Çarpanlarını Bulalım ve $m, n$ için Koşulları Belirleyelim
- Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $2^m \times 3^n$ şeklinde verildiğinde, genellikle 2 ve 3'ün o sayının asal çarpanları olduğu varsayılır. Bu durumda $m$ ve $n$ üsleri en az 1 olmalıdır (yani $m \ge 1$ ve $n \ge 1$). Eğer $m=0$ olsaydı, $2^0=1$ olacağından 2 asal çarpanı olmazdı. Benzer şekilde $n=0$ olsaydı 3 asal çarpanı olmazdı.
- Bu koşul altında, $m+1 \ge 2$ ve $n+1 \ge 2$ olmalıdır.
- Şimdi 15 sayısının çarpanlarını inceleyelim:
- $1 \times 15 = 15$
- $3 \times 5 = 15$
- $5 \times 3 = 15$
- $15 \times 1 = 15$
- 4. Adım: Olası $(m+1, n+1)$ Değerlerini Belirleyelim
- $m+1 \ge 2$ ve $n+1 \ge 2$ koşulunu sağlayan çarpan çiftleri şunlardır:
- Durum 1: $m+1 = 3$ ve $n+1 = 5$
- Durum 2: $m+1 = 5$ ve $n+1 = 3$
- Diğer durumlar ($1 \times 15$ ve $15 \times 1$) $m$ veya $n$'den birinin 0 olmasına yol açacağı için bu durumları elemiyoruz. Örneğin, $m+1=1 \implies m=0$. Bu durumda sayı $3^n$ olurdu ve 2 asal çarpanı olmazdı.
- 5. Adım: $m$ ve $n$ Değerlerini Bulalım
- Durum 1:
- $m+1 = 3 \implies m = 3-1 \implies m = 2$
- $n+1 = 5 \implies n = 5-1 \implies n = 4$
- Bu durumda $m \times n = 2 \times 4 = 8$ olur.
- Durum 2:
- $m+1 = 5 \implies m = 5-1 \implies m = 4$
- $n+1 = 3 \implies n = 3-1 \implies n = 2$
- Bu durumda $m \times n = 4 \times 2 = 8$ olur.
- 6. Adım: $m \times n$ Çarpımını Hesaplayalım
- Her iki geçerli durumda da $m \times n$ çarpımı 8 olarak bulunur.
Cevap B seçeneğidir.
