Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 2, 8 ve x cm'dir. Bu boyutların geometrik ortalaması 4 cm olduğuna göre, prizmanın hacmi kaç cm³'tür?
A) 48
B) 64
C) 72
D) 96
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir dikdörtgenler prizmasının boyutları ve bu boyutların geometrik ortalaması verilmiş. Bizden prizmanın hacmini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözelim.
- 1. Adım: Geometrik Ortalama Nedir?
- Üç sayının geometrik ortalaması, bu üç sayının çarpımının küpköküne eşittir. Eğer $a$, $b$ ve $c$ sayıları varsa, geometrik ortalama $GM = \sqrt[3]{a \cdot b \cdot c}$ formülüyle bulunur.
- Soruda verilen boyutlar $2$, $8$ ve $x$ cm'dir. Geometrik ortalama ise $4$ cm olarak verilmiştir.
- 2. Adım: x Değerini Bulmak İçin Denklemi Kurma
- Verilen bilgilere göre denklemi kuralım:
- $GM = \sqrt[3]{2 \cdot 8 \cdot x}$
- $4 = \sqrt[3]{16 \cdot x}$
- 3. Adım: x Değerini Hesaplama
- Denklemdeki küpkökten kurtulmak için her iki tarafın küpünü alalım:
- $4^3 = (\sqrt[3]{16 \cdot x})^3$
- $64 = 16 \cdot x$
- Şimdi $x$'i bulmak için her iki tarafı $16$'ya bölelim:
- $x = \frac{64}{16}$
- $x = 4$ cm
- Böylece prizmanın üçüncü boyutunu $4$ cm olarak bulduk. Prizmanın boyutları artık $2$ cm, $8$ cm ve $4$ cm'dir.
- 4. Adım: Prizmanın Hacmini Hesaplama
- Bir dikdörtgenler prizmasının hacmi, üç boyutunun çarpımına eşittir. Hacim $V = \text{uzunluk} \cdot \text{genişlik} \cdot \text{yükseklik}$ formülüyle bulunur.
- Bizim prizmamızın boyutları $2$ cm, $8$ cm ve $4$ cm olduğuna göre, hacmini hesaplayalım:
- $V = 2 \cdot 8 \cdot 4$
- $V = 16 \cdot 4$
- $V = 64$ cm³
Prizmanın hacmi $64$ cm³'tür.
Cevap B seçeneğidir.
