Bir inşaat mühendisi, kare şeklindeki bir zeminin alanını \( 12^3 \) m² olarak hesaplamıştır. Bu zeminin bir kenar uzunluğu kaç metredir?
A) \( 24\sqrt{3} \)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, kare şeklindeki bir zeminin alanından yola çıkarak kenar uzunluğunu nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür problemler, günlük hayatta karşımıza çıkabilecek durumları anlamamıza yardımcı olur ve matematiksel düşünme becerilerimizi geliştirir.
Bir kare, dört kenarı da eşit uzunlukta olan özel bir dörtgendir. Karenin alanını bulmak için bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılması (karesinin alınması) gerekir. Eğer bir kenar uzunluğuna $s$ dersek, alan formülü şu şekildedir:
$ \text{Alan} = s^2 $
Soruda bize zeminin alanının $12^3$ m² olduğu belirtilmiştir. Bu bilgiyi alan formülünde yerine yazarsak:
$ s^2 = 12^3 $
$12^3$ ifadesi, $12 \times 12 \times 12$ anlamına gelir. Hesaplayalım:
$ 12^3 = 144 \times 12 = 1728 $
Yani denklemimiz şu hale gelir:
$ s^2 = 1728 $
Eğer $s^2 = 1728$ ise, $s$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü almamız gerekir:
$ s = \sqrt{1728} $
Şimdi $\sqrt{1728}$ ifadesini sadeleştirelim. Bunun için $1728$ sayısının çarpanlarını bulmamız ve tam kare olanları karekök dışına çıkarmamız gerekiyor. $1728$ sayısını asal çarpanlarına ayırabiliriz veya tam kare çarpanlarını arayabiliriz:
$ 1728 = 144 \times 12 $
Burada $144$ bir tam karedir ($12^2 = 144$). O halde ifadeyi şöyle yazabiliriz:
$ s = \sqrt{144 \times 12} $
Karekök özelliklerine göre, çarpım halindeki sayıların karekökünü ayrı ayrı alabiliriz:
$ s = \sqrt{144} \times \sqrt{12} $
$ \sqrt{144} = 12 $ olduğu için:
$ s = 12\sqrt{12} $
Şimdi $\sqrt{12}$ ifadesini de sadeleştirelim. $12 = 4 \times 3$ ve $4$ bir tam karedir ($2^2 = 4$):
$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $
Bu değeri yerine koyarsak:
$ s = 12 \times (2\sqrt{3}) $
$ s = 24\sqrt{3} $
Bu durumda zeminin bir kenar uzunluğu $24\sqrt{3}$ metredir.
Cevap B seçeneğidir.
