Bir P asal sayısı için aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?
A) $P+1$ sayısı her zaman çift sayıdır.Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve açıklayıcı bir şekilde çözelim. Unutmayın, matematiksel ifadelerde LaTeX formatını kullanacağız.
Öncelikle asal sayı tanımını hatırlayalım: Asal sayı, 1'den büyük ve sadece 1'e ve kendisine bölünebilen doğal sayıdır.
Eğer $P=2$ ise, $P+1 = 2+1 = 3$ olur. 3 bir tek sayıdır. Dolayısıyla bu ifade her zaman doğru değildir.
Eğer $P=2$ ise, $P^2-1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ olur ve 3, 3'e bölünür. Eğer $P=5$ ise, $P^2-1 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$ olur ve 24, 3'e bölünür. Ancak bu her zaman doğru mudur? $P^2 - 1 = (P-1)(P+1)$ şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Eğer $P=3$ ise $P^2-1 = 8$ olur ve 8 sayısı 3'e bölünmez. Bu ifade de her zaman doğru değildir.
Aralarında asal olmak, iki sayının 1'den başka ortak böleni olmaması demektir. Eğer $P=5$ ise, $P-1 = 4$ ve $P+1 = 6$ olur. 4 ve 6'nın ortak böleni 2'dir. Dolayısıyla bu sayılar aralarında asal değildir. Bu ifade de her zaman doğru değildir.
Eğer $P=5$ ise, $P^2+1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$ olur. 26 sayısı 4'e tam bölünmez. Bu ifade de her zaman doğru değildir.
$P$ sayısı 2'den büyük bir asal sayı ise, $P$ tek sayıdır. Dolayısıyla $P = 2k+1$ şeklinde yazılabilir. Bu durumda $P^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k(k+1)$ olur. $k$ veya $k+1$ sayılarından biri kesinlikle çift olacağından $4k(k+1)$ sayısı 8'e tam bölünür. Şimdi de 3'e bölünebilirliğini inceleyelim. $P^2-1 = (P-1)(P+1)$ idi. $P$ 2'den büyük bir asal sayı olduğundan, $P-1$, $P$ ve $P+1$ ardışık sayılardır. Ardışık üç sayıdan biri kesinlikle 3'e bölünür. $P$ asal olduğu için 3'e bölünemez (çünkü 3'ten büyük). O halde $P-1$ veya $P+1$'den biri 3'e bölünmelidir. Yani $P^2-1$ sayısı hem 8'e hem de 3'e bölünür. 8 ve 3 aralarında asal olduğundan $P^2-1$ sayısı $8 \times 3 = 24$'e tam bölünür.
Cevap E seçeneğidir.
