🎓 KPSS Temel Kavramlar konu anlatımı Test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, KPSS'de karşına çıkacak "Temel Kavramlar" konusunun ilk testi için gerekli olan sayı kümeleri, tek-çift sayılar, pozitif-negatif sayılar, ardışık sayılar ve basamak kavramı gibi temel bilgileri sade bir dille özetlemektedir. Bu konular, matematiğin temelini oluşturur ve diğer tüm konular için birer yapı taşıdır.
📌 Sayı Kümeleri
Matematikte kullandığımız sayıları belirli özelliklerine göre gruplandırırız. Her küme, bir önceki kümeyi kapsayacak şekilde genişler.
- Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$): Sayma işleminde kullandığımız sayılardır. $0, 1, 2, 3, ...$ şeklinde sonsuza kadar giderler.
- Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): Doğal sayılarla birlikte negatiflerini de içeren kümedir. $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$ şeklinde sonsuza kadar giderler. Pozitif tam sayılar $\mathbb{Z}^+$, negatif tam sayılar $\mathbb{Z}^-$ ile gösterilir.
- Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Kesirli sayılar, ondalıklı sayılar (sonlu veya devirli) bu kümeye girer. Örnek: $ rac{1}{2}$, $0.75$, $3$, $-5$.
- İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{I}$): Rasyonel olmayan sayılardır. Yani $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan, virgülden sonrası sonsuza kadar düzensiz devam eden sayılardır. Örnek: $\sqrt{2}$, $\pi$ (Pi sayısı).
- Gerçek (Reel) Sayılar ($\mathbb{R}$): Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayıların birleşimidir. Sayı doğrusu üzerindeki tüm noktalar bir gerçek sayıyı temsil eder.
💡 İpucu: Sayı kümeleri arasındaki ilişkiyi bir hiyerarşi gibi düşünebilirsin: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$. İrrasyonel sayılar ise rasyonel sayılardan tamamen ayrıdır, ama ikisi birlikte gerçek sayıları oluşturur.
📌 Tek ve Çift Sayılar
Tam sayıları $2$ ile bölünüp bölünmemelerine göre sınıflandırırız.
- Çift Sayılar: $2$ ile tam bölünebilen tam sayılardır. Genel formülü $2k$ şeklindedir ($k$ bir tam sayı). Örnek: $..., -4, -2, 0, 2, 4, ...$
- Tek Sayılar: $2$ ile tam bölünemeyen tam sayılardır. Genel formülü $2k-1$ veya $2k+1$ şeklindedir ($k$ bir tam sayı). Örnek: $..., -3, -1, 1, 3, 5, ...$
⚠️ Dikkat: $0$ (sıfır) çift bir sayıdır. Pozitif veya negatif olması önemli değildir, sadece $2$ ile bölünüp bölünmediğine bakılır.
📝 İşlemlerde Tek-Çift Kuralları:
- Tek + Tek = Çift
- Çift + Çift = Çift
- Tek + Çift = Tek
- Tek x Tek = Tek
- Çift x Çift = Çift
- Tek x Çift = Çift
- Bir çarpma işleminde çarpanlardan en az biri çift ise sonuç çifttir.
- Üslü ifadelerde ($n>0$ için): $Tek^n = Tek$, $Çift^n = Çift$.
📌 Pozitif ve Negatif Sayılar
Sayı doğrusunda $0$'ın sağında kalanlar pozitif, solunda kalanlar negatiftir.
- Pozitif Sayılar: $0$'dan büyük sayılardır ($x > 0$). Örnek: $1, 5, rac{1}{2}, \sqrt{3}$.
- Negatif Sayılar: $0$'dan küçük sayılardır ($x < 0$). Örnek: $-1, -10, - rac{3}{4}$.
- $0$ (sıfır) ne pozitif ne de negatiftir.
📝 İşlemlerde Pozitif-Negatif Kuralları:
- Aynı işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü pozitiftir ($+ \times + = +$, $- \times - = +$).
- Farklı işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü negatiftir ($+ \times - = -$, $- \times + = -$).
- Toplama ve çıkarmada, işaretler aynıysa sayılar toplanır, ortak işaret verilir. İşaretler farklıysa büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır, büyüğün işareti verilir.
- Bir sayının çift kuvveti her zaman pozitif veya sıfırdır (Örn: $(-2)^2 = 4$, $0^2 = 0$). Tek kuvveti ise sayının kendi işaretini taşır (Örn: $(-2)^3 = -8$).
💡 İpucu: Eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yaparken eşitsizlik yön değiştirir. Örneğin, $x > 2$ ise $-x < -2$ olur.
📌 Ardışık Sayılar
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayılara ardışık sayılar denir.
- Ardışık Tam Sayılar: Aralarındaki fark $1$ olan tam sayılardır. Örnek: $n, n+1, n+2, ...$ veya $..., n-1, n, n+1, ...$
- Ardışık Çift Sayılar: Aralarındaki fark $2$ olan çift sayılardır. Örnek: $2n, 2n+2, 2n+4, ...$
- Ardışık Tek Sayılar: Aralarındaki fark $2$ olan tek sayılardır. Örnek: $2n-1, 2n+1, 2n+3, ...$
💡 İpucu: Ardışık sayı problemleri genellikle bilinmeyen bir sayıya $n$ diyerek ve diğerlerini $n+1$, $n+2$ gibi ifade ederek çözülür.
📌 Basamak Kavramı ve Sayı Çözümleme
Bir sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yere göre aldığı değere basamak değeri denir. Sayı çözümleme, bu basamak değerlerini kullanarak sayıyı açmaktır.
- Basamak Değeri: Bir rakamın sayıda bulunduğu yere göre aldığı değerdir. Örneğin, $345$ sayısında $3$'ün basamak değeri $300$'dür.
- Sayı Değeri: Bir rakamın kendi değeridir. Örneğin, $345$ sayısında $3$'ün sayı değeri $3$'tür.
- Çözümleme: Bir sayıyı basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazmaktır.
- İki basamaklı $AB$ sayısı: $10A + B$
- Üç basamaklı $ABC$ sayısı: $100A + 10B + C$
📝 Örnek: $728$ sayısını çözümleyelim. $728 = 7 \times 100 + 2 \times 10 + 8 \times 1$.
⚠️ Dikkat: Bir sayının rakamları yer değiştirdiğinde sayının değeri değişir. Örneğin, $AB$ sayısı ile $BA$ sayısı farklıdır (genellikle). $AB - BA = (10A+B) - (10B+A) = 9A - 9B = 9(A-B)$ olur.
