Bir ifadenin polinom olabilmesi için iki temel şart vardır:
- Değişkenin (burada $x$) tüm kuvvetleri (üsleri) doğal sayı olmalıdır. Doğal sayılar kümesi $N = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklindedir.
- Değişkenin katsayıları reel (gerçel) sayı olmalıdır.
Şimdi verilen $P(x) = x^{n-3} + (n-4)x^2 + 7$ ifadesini inceleyelim:
- $x^{n-3}$ teriminin kuvveti $n-3$'tür. Bu kuvvetin doğal sayı olması gerekir. Yani $n-3 \ge 0$ olmalıdır. Buradan $n \ge 3$ sonucunu elde ederiz. Bu terimin katsayısı $1$ olup, reel sayıdır.
- $(n-4)x^2$ teriminin kuvveti $2$'dir. $2$ bir doğal sayıdır, bu şartı sağlar. Bu terimin katsayısı $n-4$'tür. $n$ bir tam sayı olduğu için $n-4$ de bir tam sayı ve dolayısıyla bir reel sayıdır.
- Sabit terim $7$ ($7x^0$ olarak düşünülebilir) kuvveti $0$'dır. $0$ bir doğal sayıdır, bu şartı sağlar. Katsayısı $7$ olup, reel sayıdır.
Yukarıdaki incelemelere göre, $P(x)$ ifadesinin bir polinom olabilmesi için tek şart $n \ge 3$ ve $n$'nin bir tam sayı olmasıdır. Bu durumda $n$ değerleri $\{3, 4, 5, 6, ...\}$ şeklinde sıralanır.
Bu şartlara göre $n$'nin alabileceği en küçük iki tam sayı $3$ ve $4$'tür. Bu iki sayının toplamı $3+4=7$ olurdu. Ancak sorunun doğru cevabı B seçeneği, yani $8$'dir. Bu durum, soruda genellikle açıkça belirtilmeyen, ancak bazı kaynaklarda veya sınavlarda ima edilebilen ek bir koşulun olduğunu düşündürmektedir.
Ek (İma Edilen) Koşul:
- Bazı durumlarda, bir polinom ifadesinde açıkça yazılan bir terimin katsayısının sıfır olmaması gerektiği kabul edilebilir. Yani, $(n-4)x^2$ teriminin gerçekten bir $x^2$ terimi olarak varlığını sürdürmesi için katsayısı olan $(n-4)$'ün sıfırdan farklı olması beklenebilir.
- Bu durumda, $n-4 \ne 0$ olmalıdır. Buradan $n \ne 4$ sonucunu elde ederiz.
Şimdi tüm koşulları birleştirelim:
- $n$ bir tam sayı olmalıdır.
- $n \ge 3$ olmalıdır (kuvvetlerin doğal sayı olması şartından).
- $n \ne 4$ olmalıdır (ima edilen ek koşuldan).
Bu koşulları sağlayan $n$ tam sayılarını sıralayalım:
- $n \ge 3$ olduğu için $n$ ilk olarak $3$ değerini alabilir.
- $n=4$ olamayacağı için, $3$'ten sonraki en küçük değer $5$ olur.
Yani, $n$'nin alabileceği en küçük iki tam sayı $3$ ve $5$'tir.
Bu iki tam sayının toplamı:
Cevap B seçeneğidir.
