Faktöriyel nedir Test 1

7. \( \frac{8! + 9!}{7!} \) işleminin sonucu kaçtır?

A) 72
B) 80
C) 88
D) 92
E) 96

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda faktöriyel kavramını kullanarak bir kesirli ifadeyi sadeleştireceğiz. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Faktöriyel Kavramını Hatırlayalım:

  Bir sayının faktöriyeli, o sayıdan başlayarak 1'e kadar olan tüm doğal sayıların çarpımıdır. Örneğin, $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 3 \times 2 \times 1$.

  Bu tanıma göre, büyük faktöriyelleri daha küçük faktöriyeller cinsinden yazabiliriz:

  • $8! = 8 \times 7 \times 6 \times ... \times 1 = 8 \times (7!)$
  • $9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times ... \times 1 = 9 \times (8!) = 9 \times 8 \times (7!)$
• 2. İfadeyi Yeniden Yazalım:

  Şimdi verilen ifadeyi, tüm faktöriyelleri en küçük faktöriyel olan $7!$ cinsinden yazarak sadeleştirelim. İfademiz $ \frac{8! + 9!}{7!} $ şeklindeydi.

  • $8!$ yerine $8 \times 7!$ yazalım.
  • $9!$ yerine $9 \times 8 \times 7!$ yazalım.

  Bu durumda kesrimiz şu hale gelir:

  $ \frac{(8 \times 7!) + (9 \times 8 \times 7!)}{7!} $

• 3. Pay Kısmını Ortak Çarpan Parantezine Alalım:

  Pay kısmında, yani kesrin üst kısmında $7!$ ortak çarpanını görüyoruz. Bu ortak çarpanı parantez dışına alalım:

  $ \frac{7! \times (8 + 9 \times 8)}{7!} $

• 4. Sadeleştirme Yapalım:

  Şimdi hem payda hem de pay kısmında $7!$ çarpanı var. Bu çarpanları birbirini götürecek şekilde sadeleştirebiliriz:

  $ \frac{\cancel{7!} \times (8 + 9 \times 8)}{\cancel{7!}} = 8 + 9 \times 8 $

• 5. İşlemi Tamamlayalım:

  Kalan işlemi yapalım. İşlem önceliğine dikkat ederek önce çarpma işlemini yaparız:

  • $9 \times 8 = 72$
  • $8 + 72 = 80$

  Böylece işlemin sonucunu $80$ olarak buluruz.

Cevap B seçeneğidir.