Üçgende diklik merkezi nedir Test 1

ABC eşkenar üçgeninde diklik merkezi H noktasıdır. |AB| = 12 cm olduğuna göre, |AH| kaç cm'dir?

A) 2√3
B) 4√3
C) 6√3
D) 8√3

Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek eşkenar üçgenlerin önemli özelliklerini pekiştirelim. Soru, bir eşkenar üçgende diklik merkezinin konumunu ve bir kenar uzunluğu verildiğinde bir köşeden diklik merkezine olan uzaklığı bulmamızı istiyor.

• 1. Eşkenar Üçgenin Özelliklerini Hatırlayalım:

  Bir eşkenar üçgende tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir ve tüm iç açıları $60^\circ$'dir. En önemli özelliklerinden biri de, eşkenar üçgende diklik merkezi (ortomerkez), ağırlık merkezi (kenarortayların kesim noktası), çevrel çember merkezi ve iç teğet çember merkezi gibi tüm özel noktaların aynı noktada çakışmasıdır. Bu, bizim için H noktasının aynı zamanda ağırlık merkezi olduğu anlamına gelir.

• 2. Kenarortay Çizelim ve Uzunluğunu Bulalım:

  H noktası aynı zamanda ağırlık merkezi olduğu için, bir köşeden H'ye uzanan doğru parçası, o köşeden çıkan kenarortayın bir parçasıdır. A köşesinden BC kenarına bir kenarortay (aynı zamanda yükseklik ve açıortay) çizelim ve BC kenarını kestiği noktaya D diyelim. Eşkenar üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortay olduğu için D noktası BC kenarının orta noktasıdır.

  • $|BC| = |AB| = 12$ cm olduğu için, $|BD| = |DC| = \frac{12}{2} = 6$ cm olur.
  • Şimdi $\triangle ADB$ dik üçgenine bakalım. Bu bir $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ üçgenidir ($\angle B = 60^\circ$, $\angle ADB = 90^\circ$, $\angle BAD = 30^\circ$).
  • $60^\circ$'nin karşısındaki kenar (AD), $30^\circ$'nin karşısındaki kenarın (BD) $\sqrt{3}$ katıdır.
  • Yani, $|AD| = |BD| \times \sqrt{3} = 6 \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ cm'dir.
  • (Alternatif olarak Pisagor Teoremi ile: $|AD|^2 + |BD|^2 = |AB|^2 \Rightarrow |AD|^2 + 6^2 = 12^2 \Rightarrow |AD|^2 + 36 = 144 \Rightarrow |AD|^2 = 108 \Rightarrow |AD| = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$ cm.)
• 3. Ağırlık Merkezi Özelliğini Kullanarak $|AH|$ Uzunluğunu Bulalım:

  H noktası ağırlık merkezi olduğu için, kenarortayı (AD) köşeden itibaren $2:1$ oranında böler. Yani, $|AH|$ uzunluğu, $|HD|$ uzunluğunun iki katıdır ve tüm kenarortay uzunluğunun $\frac{2}{3}$'üdür.

  • $|AH| = \frac{2}{3} \times |AD|$
  • $|AH| = \frac{2}{3} \times 6\sqrt{3}$
  • $|AH| = 2 \times 2\sqrt{3}$
  • $|AH| = 4\sqrt{3}$ cm'dir.

Cevap B seçeneğidir.