Bir önermenin olumsuzu (değili) nasıl alınır Test 1

p(x): "x, 3'ün katıdır" ve q(x): "x, 5'in katıdır" açık önermeleri veriliyor. Buna göre "∃x ∈ N, p(x) ∧ q(x)" önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir?

A) ∀x ∈ N, ¬p(x) ∨ ¬q(x)
B) ∃x ∈ N, ¬p(x) ∧ ¬q(x)
C) ∀x ∈ N, p(x) ∨ q(x)
D) ∀x ∈ N, ¬p(x) ∧ ¬q(x)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle mantık konusundaki önemli bir başlık olan "açık önermelerin olumsuzunu bulma" üzerine bir soru çözeceğiz. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi kavramanıza yardımcı olacağım.

• Adım 1: Verilen Açık Önermeleri ve İfadeyi Anlayalım

  Bize iki açık önerme verilmiş:

  • $p(x)$: "x, 3'ün katıdır"
  • $q(x)$: "x, 5'in katıdır"

  Ve olumsuzunu bulmamız istenen önerme: "$\exists x \in N, p(x) \wedge q(x)$"

  Bu önerme ne anlama geliyor? "Doğal sayılar kümesinde öyle bir x vardır ki, x hem 3'ün katıdır hem de 5'in katıdır." Yani, 3 ve 5'in ortak katı olan bir doğal sayı vardır demektir. Örneğin, $x=15$ bu önermeyi doğru yapar.

• Adım 2: Nicelikleyici (Kuantumcu) Önermelerin Olumsuzunu Alma Kuralını Hatırlayalım

  Bir nicelikleyici önermenin olumsuzunu alırken şu kuralları uygularız:

  • "Her" ( $\forall$ ) nicelikleyicisinin olumsuzu "Bazı" ( $\exists$ ) nicelikleyicisidir ve tam tersi.
  • Önermenin kendisinin de olumsuzu alınır.

  Yani:

  • $\neg (\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \neg P(x)$
  • $\neg (\exists x, P(x)) \equiv \forall x, \neg P(x)$

  Bizim önermemiz "$\exists x \in N, (p(x) \wedge q(x))$" şeklinde olduğu için, olumsuzunu alırken "$\exists$" yerine "$\forall$" kullanacağız ve parantez içindeki ifadenin olumsuzunu alacağız.

• Adım 3: Önermenin İç Kısmının Olumsuzunu Alalım (De Morgan Kuralları)

  Şimdi $(p(x) \wedge q(x))$ ifadesinin olumsuzunu almamız gerekiyor. Burada De Morgan kurallarını hatırlayalım:

  • $\neg (A \wedge B) \equiv \neg A \vee \neg B$
  • $\neg (A \vee B) \equiv \neg A \wedge \neg B$

  Bizim durumumuzda $A = p(x)$ ve $B = q(x)$ olduğu için:

  $\neg (p(x) \wedge q(x)) \equiv \neg p(x) \vee \neg q(x)$

  Bu ne anlama geliyor? "x, 3'ün katı değildir VEYA x, 5'in katı değildir."

• Adım 4: Tüm İfadeyi Birleştirelim

  Şimdi Adım 2 ve Adım 3'teki bulgularımızı birleştirelim. "$\exists x \in N, p(x) \wedge q(x)$" önermesinin olumsuzu şu şekilde olacaktır:

  $\neg (\exists x \in N, p(x) \wedge q(x)) \equiv \forall x \in N, \neg (p(x) \wedge q(x))$

  Ve $\neg (p(x) \wedge q(x))$ yerine $\neg p(x) \vee \neg q(x)$ yazarsak:

  $\forall x \in N, \neg p(x) \vee \neg q(x)$

  Bu ifade, "Her doğal sayı x için, x 3'ün katı değildir VEYA x 5'in katı değildir" anlamına gelir.

• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz sonuç olan "$\forall x \in N, \neg p(x) \vee \neg q(x)$" ifadesini seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile birebir örtüştüğünü görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.