Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir geometrik dizinin belirli terimleri verilmiş ve bizden başka bir terimi bulmamız isteniyor. Geometrik dizilerde her terim, bir önceki terimin sabit bir sayı (ortak çarpan) ile çarpılmasıyla elde edilir. Bu bilgiyi kullanarak adım adım çözüme ulaşalım.
- Geometrik Dizi Formülü Hatırlayalım: Bir geometrik dizinin genel terim formülü $a_n = a_k \cdot r^{n-k}$ şeklindedir. Burada $a_n$ dizinin $n$. terimi, $a_k$ dizinin $k$. terimi ve $r$ ise ortak çarpandır.
- Verilen Bilgileri Yazalım:
- Dizinin 3. terimi $a_3 = 18$
- Dizinin 5. terimi $a_5 = 72$
- Bizden istenen dizinin 7. terimi $a_7$
- Ortak Çarpanı ($r$) Bulalım: $a_5$ ve $a_3$ arasındaki ilişkiyi kullanarak ortak çarpan $r$'yi bulabiliriz.
- $a_5 = a_3 \cdot r^{5-3}$
- $a_5 = a_3 \cdot r^2$
- Şimdi verilen değerleri yerine yazalım: $72 = 18 \cdot r^2$
- Her iki tarafı 18'e bölelim: $\frac{72}{18} = r^2$
- $4 = r^2$
- Buradan $r = 2$ veya $r = -2$ bulunur. Geometrik dizilerde terimler pozitif olduğu için (18 ve 72), ortak çarpanın da pozitif olduğunu varsayabiliriz. Ancak, $r^2$ kullanacağımız için $r$'nin işareti sonucumuzu etkilemeyecektir. Bu yüzden $r=2$ alabiliriz.
- 7. Terimi ($a_7$) Bulalım: Ortak çarpanı bulduğumuza göre, 5. terimi kullanarak 7. terimi bulabiliriz.
- $a_7 = a_5 \cdot r^{7-5}$
- $a_7 = a_5 \cdot r^2$
- Şimdi $a_5 = 72$ ve $r = 2$ değerlerini yerine yazalım:
- $a_7 = 72 \cdot (2)^2$
- $a_7 = 72 \cdot 4$
- $a_7 = 288$
Böylece dizinin 7. terimini 288 olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
