Sonlu toplam formülleri Test 1

2. \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) formülüne göre, \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 15^2 \) toplamı kaçtır?

A) 1240
B) 1225
C) 1210
D) 1200

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, ardışık sayıların karelerinin toplamını bulmak için verilen bir formülü kullanacağız. Formülümüz, $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ şeklindedir. Bizden istenen toplam ise $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 15^2$.

• Adım 1: Formüldeki 'n' değerini belirleyelim.

  Verilen toplam $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 15^2$ olduğuna göre, formüldeki $n$ değeri, toplamın son teriminin tabanıdır. Bu durumda, $n = 15$ olarak belirlenir.

• Adım 2: 'n' değerini formülde yerine yazalım.

  Şimdi, $n=15$ değerini $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ formülünde yerine yazalım:

  Toplam $= \frac{15(15+1)(2 \times 15+1)}{6}$

• Adım 3: İşlemleri adım adım yapalım.

  Önce parantez içindeki işlemleri yapalım:

  • $(15+1) = 16$
  • $(2 \times 15+1) = (30+1) = 31$

  Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:

  Toplam $= \frac{15 \times 16 \times 31}{6}$

• Adım 4: Çarpma ve bölme işlemlerini yapalım.

  İşlemi daha kolay hale getirmek için sadeleştirmeler yapabiliriz. Paydadaki $6$ sayısını, paydaki $15$ veya $16$ ile sadeleştirebiliriz.

  • $15$ ve $6$ sayılarını $3$ ile sadeleştirelim: $15 \div 3 = 5$ ve $6 \div 3 = 2$.

  Yeni ifademiz şu şekilde olur:

  Toplam $= \frac{5 \times 16 \times 31}{2}$

  • Şimdi de $16$ ve $2$ sayılarını $2$ ile sadeleştirelim: $16 \div 2 = 8$ ve $2 \div 2 = 1$.

  Yeni ifademiz şu şekilde olur:

  Toplam $= 5 \times 8 \times 31$

• Adım 5: Son çarpma işlemini yapalım.
  • Önce $5$ ile $8$'i çarpalım: $5 \times 8 = 40$.
  • Şimdi de $40$ ile $31$'i çarpalım: $40 \times 31 = 1240$.

  Böylece, $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 15^2$ toplamının $1240$ olduğunu buluruz.

Bulduğumuz sonuç seçeneklerdeki A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.