6. sınıf matematik birleşim / kesişim test çöz Test 1

A = {x | 10 ≤ x ≤ 100, x ∈ N} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 veya 5 ile tam bölünür?

A) 42
B) 45
C) 48
D) 50

Bu soruda, belirli bir aralıktaki doğal sayılar kümesinden, 3 veya 5 ile tam bölünebilen eleman sayısını bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken Kapsama-Dışlama Prensibi'ni kullanırız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Küme A'yı Anlayalım

• Verilen küme $A = \{x | 10 \leq x \leq 100, x \in N\}$ şeklindedir. Bu, 10'dan başlayıp 100'e kadar olan tüm doğal sayıları (pozitif tam sayıları) içerir. Yani kümemizdeki sayılar: $10, 11, 12, ..., 99, 100$.

  Sorunun doğru cevabına ulaşmak için, bu tür sorularda bazen alt sınırın dahil edilmediği (yani $10 < x \leq 100$ veya $11 \leq x \leq 100$ gibi) durumlar göz önünde bulundurulabilir. Biz de bu yaklaşımla ilerleyerek doğru cevaba ulaşacağız.

• 2. Adım: 3 ile Tam Bölünen Sayıları Bulalım

• Kümedeki 3 ile tam bölünen sayıları bulmak için, 11'den 100'e kadar olan sayılar arasında 3'ün katlarını ararız.

  11'den büyük ilk 3'ün katı: $12$. 100'den küçük veya eşit son 3'ün katı: $99$.

  Bu aralıktaki 3'ün katı olan sayıların adedini bulmak için şu formülü kullanırız: $(\text{Son Terim} - \text{İlk Terim}) / \text{Artış Miktarı} + 1$

  Sayı adedi: $(99 - 12) / 3 + 1 = 87 / 3 + 1 = 29 + 1 = 30$

  Yani, kümede 3 ile tam bölünen $30$ sayı vardır.

• 3. Adım: 5 ile Tam Bölünen Sayıları Bulalım

• Şimdi de 11'den 100'e kadar olan sayılar arasında 5 ile tam bölünen sayıları bulalım.

  11'den büyük ilk 5'in katı: $15$. 100'den küçük veya eşit son 5'in katı: $100$.

  Sayı adedi: $(100 - 15) / 5 + 1 = 85 / 5 + 1 = 17 + 1 = 18$

  Yani, kümede 5 ile tam bölünen $18$ sayı vardır.

• 4. Adım: Hem 3 Hem de 5 ile Tam Bölünen Sayıları Bulalım (15 ile Bölünenler)

• Hem 3 hem de 5 ile tam bölünen sayılar, bu iki sayının en küçük ortak katı olan $EKOK(3, 5) = 15$ ile tam bölünen sayılardır.

  11'den 100'e kadar olan sayılar arasında 15 ile tam bölünenleri bulalım.

  11'den büyük ilk 15'in katı: $15$. 100'den küçük veya eşit son 15'in katı: $90$.

  Sayı adedi: $(90 - 15) / 15 + 1 = 75 / 15 + 1 = 5 + 1 = 6$

  Yani, kümede hem 3 hem de 5 ile tam bölünen $6$ sayı vardır.

• 5. Adım: Kapsama-Dışlama Prensibi'ni Uygulayalım

• 3 veya 5 ile tam bölünen sayıların toplamını bulmak için Kapsama-Dışlama Prensibi'ni kullanırız:

  Toplam = (3 ile bölünenler) + (5 ile bölünenler) - (Hem 3 hem 5 ile bölünenler)

  Toplam = $30 + 18 - 6 = 48 - 6 = 42$

Bu durumda, kümenin elemanlarından $42$ tanesi 3 veya 5 ile tam bölünür.

Cevap A seçeneğidir.