Bir ankete katılan 80 kişiden 50'si X markasını, 45'i Y markasını beğenmiştir. Her iki markayı da beğenmeyen 15 kişi olduğuna göre, her iki markayı da beğenen kaç kişi vardır?
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu problemde, bir ankete katılan kişilerin marka beğenilerini analiz ederek, küme problemleri mantığıyla çözüme ulaşacağız. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım:
- 1. Adım: Toplam Kişi Sayısını Belirleyelim
- Ankete katılan toplam kişi sayısı $80$'dir. Bu, bizim evrensel kümemizin eleman sayısıdır.
- 2. Adım: Her İki Markayı da Beğenmeyen Kişi Sayısını Belirleyelim
- Soruda, her iki markayı da beğenmeyen kişi sayısının $15$ olduğu belirtilmiştir.
- 3. Adım: Her İki Markadan En Az Birini Beğenen Kişi Sayısını Bulalım
- Toplam kişi sayısından, hiçbir markayı beğenmeyen kişi sayısını çıkarırsak, en az bir markayı beğenen kişi sayısını buluruz. Bu, X markasını beğenenler kümesi ile Y markasını beğenenler kümesinin birleşimidir ($|X \cup Y|$).
- $|X \cup Y| = \text{Toplam Kişi Sayısı} - \text{Her İki Markayı da Beğenmeyenler}$
- $|X \cup Y| = 80 - 15 = 65$ kişi.
- Demek ki, X markasını veya Y markasını veya her ikisini birden beğenen toplam $65$ kişi vardır.
- 4. Adım: X Markasını Beğenen Kişi Sayısını Belirleyelim
- X markasını beğenen kişi sayısı $50$'dir.
- 5. Adım: Y Markasını Beğenen Kişi Sayısını Belirleyelim
- Y markasını beğenen kişi sayısı $45$'tir.
- 6. Adım: Her İki Markayı da Beğenen Kişi Sayısını Bulmak İçin Formülü Kullanalım
- Küme problemlerinde, iki kümenin birleşiminin eleman sayısı şu formülle bulunur:
- $|X \cup Y| = |X| + |Y| - |X \cap Y|$
- Burada $|X \cap Y|$, hem X markasını hem de Y markasını beğenen kişi sayısıdır ve bizim aradığımız değer budur.
- Bulduğumuz değerleri formülde yerine yazalım:
- $65 = 50 + 45 - |X \cap Y|$
- $65 = 95 - |X \cap Y|$
- Şimdi $|X \cap Y|$ değerini bulmak için denklemi çözelim:
- $|X \cap Y| = 95 - 65$
- $|X \cap Y| = 30$
- Yani, her iki markayı da beğenen kişi sayısı $30$'dur.
Cevap B seçeneğidir.
