Sevgili öğrenciler, bu soruda bir kemerin şekli $y = -x^2 + 4x$ denklemiyle modellenmiştir. Bizden istenen, bu kemerin zeminden yüksekliğinin en çok kaç metre olduğudur. Bu tür bir denklem (ikinci dereceden bir denklem), grafiği bir parabol olan bir fonksiyonu temsil eder. Denklemin başındaki katsayı ($-x^2$ terimindeki $-1$) negatif olduğu için, parabolün kolları aşağıya doğru açılır. Bu da demektir ki, parabolün bir tepe noktası vardır ve bu nokta, fonksiyonun alabileceği en büyük değeri (yani kemerin en yüksek noktasını) temsil eder.
- Adım 1: Denklemi Anlama ve Katsayıları Belirleme
- Verilen denklem $y = -x^2 + 4x$ şeklindedir. Genel ikinci dereceden denklem formu $ax^2 + bx + c$ olduğundan, bu denklemdeki katsayıları belirleyelim:
- $a = -1$ (çünkü $x^2$'nin katsayısı $-1$)
- $b = 4$ (çünkü $x$'in katsayısı $4$)
- $c = 0$ (çünkü denklemde sabit terim yok)
- Adım 2: Tepe Noktasının x-Koordinatını Bulma
- Parabolün tepe noktasının x-koordinatını bulmak için $x_v = -\frac{b}{2a}$ formülünü kullanırız. Bu formül, parabolün simetri eksenini ve dolayısıyla en yüksek veya en alçak noktasının yatay konumunu verir.
- Belirlediğimiz $a$ ve $b$ değerlerini formülde yerine koyalım:
- $x_v = -\frac{4}{2 \cdot (-1)}$
- $x_v = -\frac{4}{-2}$
- $x_v = 2$
- Bu $x_v = 2$ değeri, kemerin en yüksek noktasına ulaştığı yatay konumu (x-eksenindeki yerini) gösterir.
- Adım 3: Tepe Noktasının y-Koordinatını (Maksimum Yüksekliği) Bulma
- Kemerin zeminden en yüksek noktasını, yani maksimum yüksekliğini bulmak için, tepe noktasının y-koordinatını ($y_v$) bulmalıyız. Bunun için, bulduğumuz $x_v = 2$ değerini kemerin orijinal denklemi olan $y = -x^2 + 4x$ denkleminde yerine koyarız.
- $y_v = -(2)^2 + 4(2)$
- $y_v = -(4) + 8$
- $y_v = -4 + 8$
- $y_v = 4$
- Bu $y_v = 4$ değeri, kemerin zeminden ulaşabileceği en yüksek noktayı, yani maksimum yüksekliği temsil eder.
- Adım 4: Sonucu Yorumlama
- Yaptığımız hesaplamalar sonucunda, kemerin zeminden yüksekliğinin en çok $4$ metre olduğunu bulduk. Bu, mimarın tasarladığı kemerin en tepesinin yerden $4$ metre yükseklikte olacağı anlamına gelir.
Cevap B seçeneğidir.
