Sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun "birim fonksiyon" olma özelliğini kullanarak bilinmeyen katsayıları bulacağız. Ardından bu katsayıların toplamını hesaplayacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Birim Fonksiyon Tanımı
- Bir fonksiyonun "birim fonksiyon" olması demek, $f(x) = x$ şeklinde olması demektir. Yani, fonksiyona hangi $x$ değerini verirsek verelim, sonuç yine $x$ olur. Örneğin, $f(5)=5$, $f(-10)=-10$ gibi.
- Soruda verilen $f(x) = (k-3)x^2 + (m+1)x + n$ fonksiyonunun birim fonksiyon olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, bu fonksiyonun $f(x) = x$ eşitliğini sağlaması gerekir.
- Yani, $(k-3)x^2 + (m+1)x + n = x$ olmalıdır.
- 2. Polinom Eşitliği ve Katsayıların Karşılaştırılması
- İki polinomun birbirine eşit olabilmesi için, aynı dereceden terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır. Sağ taraftaki $x$ ifadesini daha açık bir polinom olarak yazarsak, $0 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 0$ şeklinde düşünebiliriz.
- Şimdi, sol taraftaki $f(x)$ fonksiyonunun terimlerinin katsayılarını sağ taraftaki $x$ fonksiyonunun katsayılarıyla karşılaştıralım:
- $x^2$ Teriminin Katsayısı:
- Sol tarafta $x^2$'nin katsayısı $(k-3)$'tür. Sağ tarafta $x^2$ terimi bulunmadığı için katsayısı $0$'dır.
- Bu durumda, $k-3 = 0$ eşitliğini kurarız.
- Denklemi çözdüğümüzde $k = 3$ sonucunu buluruz.
- $x$ Teriminin Katsayısı:
- Sol tarafta $x$'in katsayısı $(m+1)$'dir. Sağ tarafta $x$'in katsayısı $1$'dir.
- Bu durumda, $m+1 = 1$ eşitliğini kurarız.
- Denklemi çözdüğümüzde $m = 1-1 = 0$ sonucunu buluruz.
- Sabit Terim:
- Sol tarafta sabit terim $n$'dir. Sağ tarafta sabit terim bulunmadığı için katsayısı $0$'dır.
- Bu durumda, $n = 0$ eşitliğini kurarız.
- 3. $k+m+n$ Değerinin Hesaplanması
- Şimdi bulduğumuz $k$, $m$ ve $n$ değerlerini toplayarak istenen sonucu bulalım:
- $k = 3$
- $m = 0$
- $n = 0$
- $k + m + n = 3 + 0 + 0 = 3$
Bu durumda, $k+m+n$ değeri $3$ olarak bulunur.
Cevap C seçeneğidir
