362880 sayısı aşağıdaki permütasyonlardan hangisine eşittir?
A) P(9,2)Bu soruda, verilen 362880 sayısının hangi permütasyon ifadesine eşit olduğunu bulmamız isteniyor. Permütasyon ve faktöriyel kavramlarını hatırlayarak seçenekleri tek tek inceleyelim.
Faktöriyel ($n!$) Nedir?
Bir $n$ doğal sayısının faktöriyeli, 1'den $n$'ye kadar olan tüm doğal sayıların çarpımına eşittir. Yani, $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1$. Örneğin, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Permütasyon ($P(n,r)$) Nedir?
$n$ farklı eleman arasından $r$ tanesini seçerek sıralama sayısına permütasyon denir ve $P(n,r)$ ile gösterilir. Formülü şöyledir: $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
A) $P(9,2)$
Bu ifade, 9 eleman arasından 2 tanesinin sıralanma sayısını gösterir. Formülü uygulayalım:
$P(9,2) = \frac{9!}{(9-2)!} = \frac{9!}{7!} = \frac{9 \times 8 \times 7!}{7!} = 9 \times 8 = 72$.
Bu sayı 362880'e eşit değildir.
B) $P(9,5)$
Bu ifade, 9 eleman arasından 5 tanesinin sıralanma sayısını gösterir. Formülü uygulayalım:
$P(9,5) = \frac{9!}{(9-5)!} = \frac{9!}{4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5$.
Hesaplayalım: $9 \times 8 = 72$
$72 \times 7 = 504$
$504 \times 6 = 3024$
$3024 \times 5 = 15120$.
Bu sayı 362880'e eşit değildir.
C) $9!$
Bu ifade, 9'dan 1'e kadar olan tüm sayıların çarpımını gösterir:
$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$.
Yukarıdaki $P(9,5)$ hesabından devam edebiliriz: $9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 15120$.
Şimdi kalan çarpanları ekleyelim: $15120 \times 4 = 60480$
$60480 \times 3 = 181440$
$181440 \times 2 = 362880$
$362880 \times 1 = 362880$.
Bu sayı, soruda verilen 362880 sayısına eşittir.
D) $P(10,1)$
Bu ifade, 10 eleman arasından 1 tanesinin sıralanma sayısını gösterir. Formülü uygulayalım:
$P(10,1) = \frac{10!}{(10-1)!} = \frac{10!}{9!} = \frac{10 \times 9!}{9!} = 10$.
Bu sayı 362880'e eşit değildir.
Yapılan hesaplamalar sonucunda, 362880 sayısının $9!$ ifadesine eşit olduğu bulunmuştur.
Cevap C seçeneğidir.
