İki benzer üçgenin çevreleri oranı \( \frac{4}{7} \)'dir. Büyük üçgenin alanı 196 cm² olduğuna göre, küçük üçgenin alanı kaç cm²'dir?
A) 64Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün benzer üçgenlerle ilgili harika bir problem çözeceğiz. Benzer üçgenlerin çevreleri ve alanları arasındaki ilişkiyi hatırlayarak bu soruyu kolayca çözebiliriz.
İki üçgen benzer olduğunda, karşılıklı kenar uzunluklarının oranı, çevrelerinin oranıyla aynıdır. Bu orana benzerlik oranı diyelim ve $k$ ile gösterelim.
Yani, $k = \frac{\text{Küçük üçgenin çevresi}}{\text{Büyük üçgenin çevresi}} = \frac{\text{Küçük üçgenin kenar uzunluğu}}{\text{Büyük üçgenin kenar uzunluğu}}$
Benzer üçgenlerde alanlar oranı ise benzerlik oranının karesine eşittir.
Yani, $ \frac{\text{Küçük üçgenin alanı}}{\text{Büyük üçgenin alanı}} = k^2 $
Soruda bize iki benzer üçgenin çevreleri oranının $ \frac{4}{7} $ olduğu verilmiş. Bu oran, küçük üçgenin çevresinin büyük üçgenin çevresine oranıdır. Dolayısıyla, benzerlik oranımız $k = \frac{4}{7}$'dir.
Büyük üçgenin alanı $196 \text{ cm}^2$ olarak verilmiş.
Bizden küçük üçgenin alanını bulmamız isteniyor.
Alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşit olduğu için, $k^2$ değerini bulmalıyız:
$ k^2 = \left( \frac{4}{7} \right)^2 = \frac{4^2}{7^2} = \frac{16}{49} $
Yani, küçük üçgenin alanının büyük üçgenin alanına oranı $ \frac{16}{49} $'dur.
Alanlar oranını ve büyük üçgenin alanını kullanarak küçük üçgenin alanını hesaplayabiliriz:
$ \frac{\text{Küçük üçgenin alanı}}{\text{Büyük üçgenin alanı}} = \frac{16}{49} $
$ \frac{\text{Küçük üçgenin alanı}}{196} = \frac{16}{49} $
Şimdi küçük üçgenin alanını bulmak için denklemi çözelim:
$ \text{Küçük üçgenin alanı} = \frac{16}{49} \times 196 $
$196$ sayısı $49$'un tam katıdır. $196 \div 49 = 4$ olduğu için işlemi basitleştirebiliriz:
$ \text{Küçük üçgenin alanı} = 16 \times 4 $
$ \text{Küçük üçgenin alanı} = 64 \text{ cm}^2 $
Böylece küçük üçgenin alanını $64 \text{ cm}^2$ olarak bulduk.
Cevap A seçeneğidir.
