Tekrarlı permütasyon formülü Test 1

Bir şifre 4 basamaklı olup her basamağı {1, 2, 3} rakamlarından oluşmaktadır. Kaç farklı şifre oluşturulabilir?

A) 12
B) 64
C) 81
D) 256

Sevgili öğrenciler, bu tür soruları çözerken adım adım düşünmek, doğru cevaba ulaşmanın en kolay yoludur. Haydi birlikte bu şifreleme problemini çözelim!

• Problemi Anlayalım:

  Bize verilen bilgiye göre, oluşturacağımız şifre 4 basamaklı olacak. Her bir basamak için kullanabileceğimiz rakamlar ise sadece {1, 2, 3} kümesinden seçilebiliyor. Yani her basamak için 3 farklı seçeneğimiz var.

• Her Basamak İçin Seçenekleri Belirleyelim:

  Şifremiz 4 basamaklı olduğu için, her bir basamağı ayrı ayrı değerlendirelim:

• 1. Basamak: Bu basamağa {1, 2, 3} rakamlarından herhangi birini yazabiliriz. Yani 3 farklı seçeneğimiz var.
• 2. Basamak: Aynı şekilde, bu basamağa da {1, 2, 3} rakamlarından herhangi birini yazabiliriz. Yine 3 farklı seçeneğimiz var. (Çünkü rakamlar tekrar edebilir, soruda farklı rakamlar kullanılmalı diye bir kısıtlama yok.)
• 3. Basamak: Bu basamak için de 3 farklı seçeneğimiz var.
• 4. Basamak: Son basamak için de 3 farklı seçeneğimiz var.
• Toplam Şifre Sayısını Bulalım:

  Matematikte bu tür ardışık seçimlerde toplam olası durum sayısını bulmak için, her adımda sahip olduğumuz seçenek sayısını birbiriyle çarparız. Bu yönteme "Çarpma Prensibi" denir.

  O halde, toplam şifre sayısı şu şekilde hesaplanır:

  Toplam Şifre Sayısı = (1. Basamak Seçenek Sayısı) $\times$ (2. Basamak Seçenek Sayısı) $\times$ (3. Basamak Seçenek Sayısı) $\times$ (4. Basamak Seçenek Sayısı)

  Toplam Şifre Sayısı = $3 \times 3 \times 3 \times 3$

  Bu ifadeyi üslü sayı olarak $3^4$ şeklinde yazabiliriz.

• Hesaplamayı Yapalım:

  $3 \times 3 = 9$

  $9 \times 3 = 27$

  $27 \times 3 = 81$

  Yani, toplamda 81 farklı şifre oluşturulabilir.

Cevap C seçeneğidir.