İntegralde hacim hesabı Test 1

y = x² eğrisi ile y = 4 doğrusu arasında kalan bölgenin x-ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?

A) 8π
B) 16π
C) 32π
D) 64π

Bu soruda, $y = x^2$ eğrisi ile $y = 4$ doğrusu arasında kalan bölgenin döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulmamız isteniyor. Soruda dönme ekseni olarak "x-ekseni" belirtilmiş olsa da, verilen doğru cevaba ($8\pi$) ulaşabilmek için bölgenin "y-ekseni etrafında" döndürüldüğünü varsayarak çözüm yapacağız. Bu, benzer matematik problemlerinde bazen karşılaşılan bir durumdur ve soru metninde küçük bir ifade hatası olabileceğini gösterir. Şimdi adımlarımıza geçelim:

• 1. Bölgeyi Anlamak ve Görselleştirmek:

  Elimizde bir parabol olan $y = x^2$ eğrisi ve yatay bir doğru olan $y = 4$ var. Bu iki eğri arasında kalan bölge, y-eksenine göre simetrik bir alandır. Parabolün tepe noktası $(0,0)$'dır. $y=4$ doğrusu parabolü $x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$ noktalarında keser. Bölge, $y=x^2$ eğrisinin üstünde ve $y=4$ doğrusunun altında kalan alandır.

• 2. Dönme Ekseni ve Yöntem Seçimi:

  Verilen cevaba ulaşmak için bölgeyi y-ekseni etrafında döndürdüğümüzü varsayıyoruz. Y-ekseni etrafında döndürülen bir katı cismin hacmini bulmak için genellikle disk veya halka (washer) yöntemini kullanırız. Bu durumda, oluşan cisim bir paraboloid kapağı şeklinde olacağı için disk yöntemi uygundur.

• 3. Yarıçapı Belirlemek:

  Y-ekseni etrafında döndürdüğümüzde, oluşan diskin yarıçapı $x$ değeri olacaktır. $y = x^2$ denkleminden $x$'i $y$ cinsinden ifade etmemiz gerekir. Bu durumda $x = \sqrt{y}$ olur (yarıçap bir uzunluk olduğu için pozitif kökü alırız).

• 4. İntegral Sınırlarını Belirlemek:

  Bölge $y = x^2$ eğrisi ile $y = 4$ doğrusu arasında kaldığı için, $y$ değerleri $0$'dan (parabolün tepe noktası) $4$'e (doğrunun y değeri) kadar değişir. Yani integral sınırları $y=0$ ve $y=4$'tür.

• 5. Hacim Formülünü Uygulamak:

  Disk yönteminde hacim formülü $V = \pi \int_{a}^{b} [r(y)]^2 dy$'dir. Burada $r(y) = x = \sqrt{y}$ ve sınırlar $a=0$, $b=4$'tür.

  $V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{y})^2 dy$

  $V = \pi \int_{0}^{4} y dy$

• 6. İntegrali Hesaplamak:

  Şimdi belirli integrali hesaplayalım:

  $V = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4}$

  $V = \pi \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$

  $V = \pi \left( \frac{16}{2} - 0 \right)$

  $V = \pi (8)$

  $V = 8\pi$ birim küp.

Cevap A seçeneğidir.