Parçalı fonksiyon nedir Test 2

Bir su şirketinin fiyat tarifesi:
- İlk 10 m³: m³ başı 2 TL
- 10-20 m³ arası: m³ başı 3 TL
- 20 m³'ten fazla: m³ başı 4 TL
Buna göre 25 m³ su kullanımı için ödenecek tutarı veren fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( f(x) = \begin{cases} 2x, & x \leq 10 \\ 20 + 3(x-10), & 10 < x \leq 20 \\ 50 + 4(x-20), & x > 20 \end{cases} \)
B) \( f(x) = \begin{cases} 2x, & x \leq 10 \\ 3x, & 10 < x \leq 20 \\ 4x, & x > 20 \end{cases} \)
C) \( f(x) = \begin{cases} 2x, & x \leq 10 \\ 20 + 3x, & 10 < x \leq 20 \\ 50 + 4x, & x > 20 \end{cases} \)
D) \( f(x) = \begin{cases} 2x, & x \leq 10 \\ 3(x-10), & 10 < x \leq 20 \\ 4(x-20), & x > 20 \end{cases} \)

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir su şirketinin kademeli fiyatlandırma tarifesini inceleyerek, toplam su kullanım bedelini veren bir fonksiyon oluşturmamız isteniyor. Bu tür kademeli fiyatlandırmalar, genellikle parçalı fonksiyonlar (veya diğer adıyla çok parçalı fonksiyonlar) ile ifade edilir. Şimdi adım adım bu fonksiyonu oluşturalım:

• 1. Adım: Fiyat Tarifesini Anlayalım

  Su şirketinin tarifesi üç farklı kademeden oluşuyor:

  • İlk $10 \text{ m}^3$ su için metreküp başına $2 \text{ TL}$.
  • $10 \text{ m}^3$ ile $20 \text{ m}^3$ arasındaki su için (yani $10 \text{ m}^3$'ten sonraki $10 \text{ m}^3$ için) metreküp başına $3 \text{ TL}$.
  • $20 \text{ m}^3$'ten fazla kullanılan su için metreküp başına $4 \text{ TL}$.

  Bu, her kademede farklı bir fiyatlandırma olduğu ve önceki kademelerin maliyetinin bir sonraki kademeye eklenerek ilerlediği anlamına gelir.

• 2. Adım: İlk Kademeyi Tanımlayalım ($x \leq 10 \text{ m}^3$)

  Eğer kullanılan su miktarı ($x$) $10 \text{ m}^3$ veya daha az ise, tüm su metreküp başına $2 \text{ TL}$'den ücretlendirilir. Bu durumda ödenecek tutar:

  $f(x) = 2x$

• 3. Adım: İkinci Kademeyi Tanımlayalım ($10 < x \leq 20 \text{ m}^3$)

  Eğer kullanılan su miktarı $10 \text{ m}^3$'ten fazla ama $20 \text{ m}^3$ veya daha az ise, hesaplama iki bölümden oluşur:

  • İlk $10 \text{ m}^3$: Bu kısım $2 \text{ TL}/\text{m}^3$ üzerinden ücretlendirilir. Toplam maliyet: $10 \times 2 = 20 \text{ TL}$.
  • Kalan miktar: $10 \text{ m}^3$'ten sonraki kullanılan miktar $x - 10$ kadardır. Bu miktar $3 \text{ TL}/\text{m}^3$ üzerinden ücretlendirilir. Toplam maliyet: $3(x-10) \text{ TL}$.

  Bu durumda ödenecek toplam tutar, ilk $10 \text{ m}^3$'ün maliyeti ile kalan miktarın maliyetinin toplamıdır:

  $f(x) = 20 + 3(x-10)$

• 4. Adım: Üçüncü Kademeyi Tanımlayalım ($x > 20 \text{ m}^3$)

  Eğer kullanılan su miktarı $20 \text{ m}^3$'ten fazla ise, hesaplama üç bölümden oluşur:

  • İlk $10 \text{ m}^3$: $2 \text{ TL}/\text{m}^3$ üzerinden ücretlendirilir. Maliyet: $10 \times 2 = 20 \text{ TL}$.
  • Sonraki $10 \text{ m}^3$ (yani $10 \text{ m}^3$ ile $20 \text{ m}^3$ arası): Bu kısım $3 \text{ TL}/\text{m}^3$ üzerinden ücretlendirilir. Maliyet: $10 \times 3 = 30 \text{ TL}$.
  • Kalan miktar: $20 \text{ m}^3$'ten sonraki kullanılan miktar $x - 20$ kadardır. Bu miktar $4 \text{ TL}/\text{m}^3$ üzerinden ücretlendirilir. Maliyet: $4(x-20) \text{ TL}$.

  Bu durumda ödenecek toplam tutar, ilk $20 \text{ m}^3$'ün maliyeti ($20 + 30 = 50 \text{ TL}$) ile kalan miktarın maliyetinin toplamıdır:

  $f(x) = 50 + 4(x-20)$

• 5. Adım: Parçalı Fonksiyonu Oluşturalım

  Yukarıdaki adımlarda bulduğumuz her bir kademeyi birleştirerek parçalı fonksiyonumuzu yazalım:

  $f(x) = \begin{cases} 2x, & x \leq 10 \\ 20 + 3(x-10), & 10 < x \leq 20 \\ 50 + 4(x-20), & x > 20 \end{cases}$

• 6. Adım: Seçenekleri Karşılaştıralım

  Oluşturduğumuz bu fonksiyonu seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin bizim bulduğumuz fonksiyonla tamamen aynı olduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.