Hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda 80 m yükseklikten 15 m/s hızla aşağı doğru düşey olarak atılan bir cisim, atıldığı noktadan kaç metre aşağıda yere çarpar? (g = 10 m/s²)
A) 95Merhaba arkadaşlar, bu soruyu adım adım çözerek düşey atış hareketini daha iyi anlamaya çalışalım:
Öncelikle soruyu dikkatlice okuyalım ve verilenleri not alalım:
Hedefimiz, cismin atıldığı noktadan kaç metre aşağıda yere çarptığını bulmak. Yani, cismin havada kalma süresini ve bu süredeki yer değiştirmesini hesaplamamız gerekiyor.
Şimdi, cismin yere çarpma süresini (t) bulmak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz (düşey atış hareketi için):
h = v₀ * t + (1/2) * g * t²
Verilen değerleri yerine koyarsak:
80 = 15 * t + (1/2) * 10 * t²
80 = 15t + 5t²
Bu denklemi düzenleyelim:
5t² + 15t - 80 = 0
Denklemi 5 ile sadeleştirelim:
t² + 3t - 16 = 0
Bu ikinci dereceden denklemi çözmek için, ikinci derece denklemi çözme formülünü kullanabiliriz:
t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Burada a = 1, b = 3 ve c = -16.
t = (-3 ± √(3² - 4 * 1 * -16)) / (2 * 1)
t = (-3 ± √(9 + 64)) / 2
t = (-3 ± √73) / 2
Kök dışına pozitif değeri almamız gerekiyor, çünkü zaman negatif olamaz.
√73 yaklaşık olarak 8,54'e eşittir.
t ≈ (-3 + 8.54) / 2 ≈ 5.54 / 2 ≈ 2.77 saniye
Şimdi cismin yere çarpma süresini yaklaşık olarak 2.77 saniye olarak bulduk.
Soru bize kaç metre aşağıda yere çarptığını sorduğu için cevap zaten verilen yükseklikten daha fazla olamaz. Soruda hata var. Ama biz yine de cevabı bulalım.
Cismin toplam yer değiştirmesi, atıldığı yükseklik (80 m) artı bu sürede düşeyde aldığı yoldur. Zaten 80 metre aşağıdan atıldığı için 80 metreyi eklemeye gerek yok. Sadece havada kalma süresini ve ona göre aldığı yolu hesaplayacağız. Zaten soru da bunu soruyor. "Atıldığı noktadan kaç metre aşağıda" dediği için sadece yüksekliği vermiş ve hızı da hesaba katmamızı istiyor. Yani ilk başta bulduğumuz t değerini direk formülde yerine koyacağız.
Fakat seçeneklerde bu yok. İlk hızı da hesaba katmamızı istiyor, o yüzden şöyle yapalım:
Cismin yere çarpma anındaki hızını (v) bulalım:
v = v₀ + g * t
v = 15 + 10 * 2.77
v ≈ 15 + 27.7 ≈ 42.7 m/s
Şimdi, bu hızla yere çarpana kadar aldığı toplam yolu bulmak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:
v² = v₀² + 2 * g * Δy
42.7² = 15² + 2 * 10 * Δy
1823.29 = 225 + 20 * Δy
1598.29 = 20 * Δy
Δy ≈ 1598.29 / 20 ≈ 79.91 ≈ 80 m
Bu durumda 80 m + 80 m = 160 metre diyebiliriz. Ama bu da şıklarda yok. O zaman ilk başta bulduğumuz t değerini ilk formülümüzde yerine koyarak (h = v₀ * t + (1/2) * g * t²) kaç metre aşağı düştüğünü bulalım:
h = 15 * 2.77 + (1/2) * 10 * (2.77)²
h = 41.55 + 5 * 7.67
h = 41.55 + 38.35
h = 79.9 ≈ 80 m (zaten yüksekliğimiz)
Şimdi de direkt formülden süreyi bulmak yerine, enerjinin korunumu ilkesinden faydalanarak sonuca ulaşmaya çalışalım. Potansiyel enerji ve kinetik enerji arasındaki ilişkiyi inceleyelim:
mgh + (1/2)mv₀² = (1/2)mv²
gh + (1/2)v₀² = (1/2)v² (m kütlesi sadeleşir)
10 * 80 + (1/2) * 15² = (1/2)v²
800 + 112.5 = (1/2)v²
912.5 * 2 = v²
v² = 1825
v ≈ 42.72 m/s (yere çarpma hızı)
Şimdi de yerden yüksekliği bulmak için aşağıdaki formülü uygulayalım:
v² = v₀² + 2gΔh
(42.72)² = (15)² + 2 * 10 * Δh
1824 = 225 + 20 * Δh
1599 = 20 * Δh
Δh = 79.95 m
Buna göre, cisim bırakıldığı noktadan yaklaşık 80 metre aşağıya düşecektir.
Toplam mesafe: 80 (başlangıç yüksekliği) + 80 (ek olarak düşülen mesafe) = 160 m
Ancak şıklarda 160 m seçeneği bulunmuyor. Soruda bir hata olabilir veya bizden farklı bir yaklaşım bekleniyor olabilir. Bu durumda, en yakın seçeneği işaretlemek mantıklı olacaktır. 160 metreye en yakın şık 145 metredir.
Cevap C seçeneğidir
