Bir mutlak değer fonksiyonu olan f(x) = |x-a| + |x-b| için a < b olmak üzere, bu fonksiyonun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A) Parabol
B) V şeklinde iki doğru
C) Sabit fonksiyon
D) Doğrusal artan fonksiyon
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, mutlak değer fonksiyonlarının grafiklerini nasıl yorumlayacağımızı adım adım öğreneceğiz. Özellikle $f(x) = |x-a| + |x-b|$ şeklindeki fonksiyonların grafikleri oldukça özel bir yapıya sahiptir. Hadi başlayalım!
-
1. Adım: Kritik Noktaları Belirleme
Bir mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizerken veya şeklini yorumlarken, mutlak değerin içini sıfır yapan noktalar (kritik noktalar) çok önemlidir. Bu noktalar, fonksiyonun davranışının değiştiği yerlerdir.
- Verilen fonksiyonumuz $f(x) = |x-a| + |x-b|$ şeklindedir.
- Mutlak değerlerin içini sıfır yapan noktalar:
- $x-a = 0 \implies x=a$
- $x-b = 0 \implies x=b$
- Soruda $a < b$ olduğu belirtilmiştir. Bu kritik noktalar, sayı doğrusunu üç farklı aralığa böler: $x < a$, $a \le x < b$ ve $x \ge b$. Her aralıkta mutlak değer ifadelerini farklı şekilde açmamız gerekecek.
-
2. Adım: Her Aralıktaki Fonksiyon Kuralını Belirleme
Şimdi, her bir aralıkta mutlak değerin tanımına göre fonksiyonun kuralını yeniden yazalım:
- Durum 1: $x < a$ için
- Bu aralıkta $x$ hem $a$'dan küçük hem de $b$'den küçüktür (çünkü $a < b$).
- Dolayısıyla, $x-a$ negatiftir ($x-a < 0$) ve $x-b$ de negatiftir ($x-b < 0$).
- Mutlak değerin tanımına göre, negatif bir ifadenin mutlak değeri, o ifadenin eksilisi olarak açılır:
- $|x-a| = -(x-a) = a-x$
- $|x-b| = -(x-b) = b-x$
- Bu durumda fonksiyonumuz: $f(x) = (a-x) + (b-x) = a+b-2x$ olur.
- Bu, eğimi $-2$ olan doğrusal (azalan) bir fonksiyondur. Grafiği azalan bir doğru parçası olacaktır.
- Durum 2: $a \le x < b$ için
- Bu aralıkta $x$ değeri $a$'ya eşit veya $a$'dan büyük, ama $b$'den küçüktür.
- Dolayısıyla, $x-a$ pozitif veya sıfırdır ($x-a \ge 0$), ancak $x-b$ negatiftir ($x-b < 0$).
- Mutlak değerleri açalım:
- $|x-a| = x-a$
- $|x-b| = -(x-b) = b-x$
- Bu durumda fonksiyonumuz: $f(x) = (x-a) + (b-x) = x-a+b-x = b-a$ olur.
- Bu, $b-a$ sabit değerine sahip bir sabit fonksiyondur. ($a < b$ olduğu için $b-a$ pozitif bir sabittir.) Bu aralıkta grafik yatay bir doğru parçasıdır.
- Durum 3: $x \ge b$ için
- Bu aralıkta $x$ değeri hem $b$'ye eşit veya $b$'den büyük, hem de $a$'dan büyüktür (çünkü $a < b$).
- Dolayısıyla, $x-a$ pozitif veya sıfırdır ($x-a \ge 0$) ve $x-b$ de pozitif veya sıfırdır ($x-b \ge 0$).
- Mutlak değerleri açalım:
- $|x-a| = x-a$
- $|x-b| = x-b$
- Bu durumda fonksiyonumuz: $f(x) = (x-a) + (x-b) = 2x-a-b$ olur.
- Bu, eğimi $2$ olan doğrusal (artan) bir fonksiyondur. Grafiği artan bir doğru parçası olacaktır.
-
3. Adım: Grafiğin Şeklini Yorumlama
Şimdi bulduğumuz bu üç parçayı birleştirelim:
- $x < a$ için grafik azalan bir doğrudur.
- $a \le x < b$ için grafik yatay, sabit bir doğrudur (minimum değer $b-a$).
- $x \ge b$ için grafik artan bir doğrudur.
Bu üç parçanın birleşimi, ortada düz bir tabana sahip bir "V" şeklini oluşturur. Fonksiyonun minimum değeri $b-a$'dır ve bu değer $x$ $a$ ile $b$ arasında olduğunda elde edilir. Genel olarak, iki mutlak değer ifadesinin toplamı olan fonksiyonların grafikleri bu tür bir "V" şekline benzer. Seçenekler arasında bu şekli en iyi tanımlayan ifade "V şeklinde iki doğru" seçeneğidir.
Cevap B seçeneğidir.
