|x-2| + |x+3| = 7 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) -1Bugün mutlak değer içeren denklemleri nasıl çözeceğimizi ve bu tür denklemlerdeki kritik noktaların önemini adım adım inceleyeceğiz. Sorumuz: $|x-2| + |x+3| = 7$ denklemini sağlayan $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?
Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve her zaman pozitif veya sıfırdır. Yani, $|a| = a$ eğer $a \ge 0$ ise ve $|a| = -a$ eğer $a < 0$ ise.
Denklemimizdeki mutlak değer ifadelerinin içini sıfır yapan $x$ değerlerine kritik noktalar denir. Bu noktalar, sayı doğrusunu farklı bölgelere ayırır ve her bölgede mutlak değer ifadeleri farklı şekilde açılır.
Kritik noktalar:
• İlk ifade: $|x-2|$. İçini sıfır yapan değer $x-2=0 \implies x=2$.
• İkinci ifade: $|x+3|$. İçini sıfır yapan değer $x+3=0 \implies x=-3$.
Kritik noktalarımız $x=-3$ ve $x=2$. Bu noktalar sayı doğrusunu üç bölgeye ayırır:
1. $x < -3$
2. $-3 \le x < 2$
3. $x \ge 2$
Şimdi, her bir bölgede mutlak değer ifadelerini açarak denklemi çözelim.
Bölge 1: $x < -3$
Bu bölgede, $x$ değeri $-3$'ten küçük olduğu için:
• $x-2$ ifadesi negatif olur (örneğin, $x=-4$ için $x-2=-6$). Dolayısıyla $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.
• $x+3$ ifadesi negatif olur (örneğin, $x=-4$ için $x+3=-1$). Dolayısıyla $|x+3| = -(x+3) = -x-3$.
Denklemimiz şu hale gelir:
$(-x+2) + (-x-3) = 7$
$-2x - 1 = 7$
$-2x = 8$
$x = -4$
Bulduğumuz $x=-4$ değeri, $x < -3$ koşulunu sağlar. O halde, $x=-4$ bir çözümdür.
Bölge 2: $-3 \le x < 2$
Bu bölgede, $x$ değeri $-3$ ile $2$ arasında olduğu için:
• $x-2$ ifadesi negatif olur (örneğin, $x=0$ için $x-2=-2$). Dolayısıyla $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.
• $x+3$ ifadesi pozitif veya sıfır olur (örneğin, $x=0$ için $x+3=3$). Dolayısıyla $|x+3| = x+3$.
Denklemimiz şu hale gelir:
$(-x+2) + (x+3) = 7$
$5 = 7$
Bu bir çelişkidir ($5$ asla $7$'ye eşit değildir). Bu durum, bu bölgede denklemi sağlayan hiçbir $x$ değeri olmadığını gösterir.
Ek Bilgi: Bu durumun geometrik bir yorumu da vardır. $|x-2|$ $x$'in $2$'ye uzaklığı, $|x+3|$ ise $x$'in $-3$'e uzaklığıdır. Eğer $x$ noktası $-3$ ile $2$ arasında ise, $x$'in $-3$'e uzaklığı ile $x$'in $2$'ye uzaklığının toplamı, $-3$ ile $2$ arasındaki uzaklığa eşittir ki bu da $|2 - (-3)| = |2+3| = 5$'tir. Denklem $7$'ye eşit olmasını istediği için bu bölgede çözüm yoktur.
Bölge 3: $x \ge 2$
Bu bölgede, $x$ değeri $2$'ye eşit veya $2$'den büyük olduğu için:
• $x-2$ ifadesi pozitif veya sıfır olur (örneğin, $x=3$ için $x-2=1$). Dolayısıyla $|x-2| = x-2$.
• $x+3$ ifadesi pozitif olur (örneğin, $x=3$ için $x+3=6$). Dolayısıyla $|x+3| = x+3$.
Denklemimiz şu hale gelir:
$(x-2) + (x+3) = 7$
$2x + 1 = 7$
$2x = 6$
$x = 3$
Bulduğumuz $x=3$ değeri, $x \ge 2$ koşulunu sağlar. O halde, $x=3$ bir çözümdür.
Denklemi sağlayan $x$ değerleri $x=-4$ ve $x=3$'tür.
Bu değerlerin toplamı: $(-4) + 3 = -1$.
Cevap A seçeneğidir.
