f(x) = |2x - 4| - 1 fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = 2 doğrusuna göre simetrik, tepe noktası (2, -1) olan V şeklinde bir grafikMutlak değer fonksiyonlarının grafiklerini anlamak için, verilen $f(x) = |2x - 4| - 1$ fonksiyonunu adım adım inceleyelim.
Mutlak değer fonksiyonlarının en temel hali $g(x) = |x|$ şeklindedir. Bu fonksiyonun grafiği, tepe noktası $(0,0)$ olan ve $y$-eksenine ($x=0$ doğrusuna) göre simetrik, V şeklinde bir grafiktir. Kollar yukarı doğru açılır.
Verilen fonksiyon $f(x) = |2x - 4| - 1$. Mutlak değerin içindeki ifadeyi çarpanlarına ayırarak daha anlaşılır bir hale getirebiliriz:
$f(x) = |2(x - 2)| - 1$
Mutlak değerin özelliklerinden biri olan $|ab| = |a||b|$ kuralını kullanarak bu ifadeyi şöyle yazabiliriz:
$f(x) = |2| \cdot |x - 2| - 1$
$f(x) = 2|x - 2| - 1$
Bir mutlak değer fonksiyonunun genel formu $h(x) = a|x - h| + k$ şeklindedir. Bu formda:
Tepe noktası $(h, k)$'dir.
Simetri ekseni $x = h$ doğrusudur.
Eğer $a > 0$ ise V şekli yukarı doğru açılır; $a < 0$ ise aşağı doğru açılır.
Bizim fonksiyonumuz $f(x) = 2|x - 2| - 1$ olduğuna göre, bu formülle karşılaştırdığımızda:
Burada $h = 2$ ve $k = -1$ değerlerini görüyoruz. Ayrıca $a = 2$ olduğu için (pozitif bir sayı), V şeklindeki grafik yukarı doğru açılacaktır.
Bu durumda, fonksiyonun tepe noktası $(2, -1)$'dir.
Simetri ekseni ise $x = 2$ doğrusudur.
Bulduğumuz özellikler (tepe noktası $(2, -1)$ ve simetri ekseni $x = 2$) ile seçenekleri karşılaştıralım:
A) $x = 2$ doğrusuna göre simetrik, tepe noktası $(2, -1)$ olan V şeklinde bir grafik
B) $x = -2$ doğrusuna göre simetrik, tepe noktası $(-2, 1)$ olan V şeklinde bir grafik
C) $x = 2$ doğrusuna göre simetrik, tepe noktası $(2, 1)$ olan V şeklinde bir grafik
D) $x = -2$ doğrusuna göre simetrik, tepe noktası $(-2, -1)$ olan V şeklinde bir grafik
Bizim bulduğumuz tepe noktası $(2, -1)$ ve simetri ekseni $x = 2$ olduğundan, bu özelliklere uyan tek seçenek A seçeneğidir.
Cevap A seçeneğidir.
