Bir ifadenin polinom olup olmadığını anlamak için, polinomun temel özelliklerini hatırlamamız gerekir. Bir polinom, değişkenlerin sadece toplama, çıkarma, çarpma işlemleri ve değişkenin kuvvetinin negatif olmayan bir tam sayı (yani $0, 1, 2, 3, \dots$) olmasıyla oluşan bir cebirsel ifadedir. Başka bir deyişle:
- Değişkenlerin üsleri (kuvvetleri) mutlaka $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi doğal sayılar olmalıdır.
- Değişkenler kök içinde bulunmamalıdır (örneğin $\sqrt{x}$ olmamalıdır, çünkü bu $x^{1/2}$ demektir ve $1/2$ tam sayı değildir).
- Değişkenler paydada bulunmamalıdır (örneğin $\frac{1}{x}$ olmamalıdır, çünkü bu $x^{-1}$ demektir ve $-1$ doğal sayı değildir).
- Katsayılar (değişkenlerin önündeki sayılar) herhangi bir reel sayı olabilir (tam sayı, kesirli sayı, köklü sayı vb.).
Şimdi seçenekleri bu kurallara göre inceleyelim:
- A) $3x^2 - 5x + 1$
- Bu ifadede $x$'in kuvvetleri $2$, $1$ ($-5x = -5x^1$) ve $0$ ($1 = 1x^0$) şeklindedir.
- $2, 1, 0$ hepsi negatif olmayan tam sayılardır.
- Bu ifade bir polinomdur.
- B) $2x^{-1} + 4x - 7$
- Bu ifadede $x$'in kuvvetleri $-1$, $1$ ve $0$ ($-7 = -7x^0$) şeklindedir.
- Burada $x^{-1}$ terimi bulunmaktadır. $-1$ bir negatif tam sayıdır ve negatif olmayan bir tam sayı değildir.
- Bu ifade polinom olma şartını sağlamaz.
- C) $\sqrt{5}x^3 + 2x$
- Bu ifadede $x$'in kuvvetleri $3$ ve $1$ şeklindedir.
- $3, 1$ hepsi negatif olmayan tam sayılardır.
- Katsayı $\sqrt{5}$ bir reel sayı olabilir, bu polinom olma durumunu etkilemez.
- Bu ifade bir polinomdur.
- D) $4x^5 - \frac{1}{2}x^2 + 3$
- Bu ifadede $x$'in kuvvetleri $5$, $2$ ve $0$ ($3 = 3x^0$) şeklindedir.
- $5, 2, 0$ hepsi negatif olmayan tam sayılardır.
- Katsayı $-\frac{1}{2}$ bir reel sayı olabilir, bu polinom olma durumunu etkilemez.
- Bu ifade bir polinomdur.
Yukarıdaki incelemelere göre, $2x^{-1} + 4x - 7$ ifadesindeki $x^{-1}$ terimi nedeniyle bu ifade bir polinom belirtmez.
Cevap B seçeneğidir.
