Polinom olma şartı ile ilgili sorular Test 2

Bir matematik öğretmeni tahtaya "\(P(x) = 3x^a - 2x^b + 5x^c - 1\) ifadesi bir polinomdur" yazmıştır. Buna göre \(a\), \(b\), ve \(c\) için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) \(a, b, c\) pozitif tam sayılardır
B) \(a, b, c\) negatif olmayan tam sayılardır
C) \(a, b, c\) rasyonel sayılardır
D) \(a, b, c\) gerçek sayılardır

Sevgili öğrenciler,

Bu soruyu çözmek için polinomların temel tanımını hatırlamamız gerekiyor. Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenlerin (burada $x$) kuvvetlerinin belirli şartları sağlaması gerekir.

• Polinom Nedir? Bir polinom, değişkenlerin sadece toplama, çıkarma, çarpma ve negatif olmayan tam sayı kuvvetlerini içeren bir matematiksel ifadedir.
• Kuvvetlerin Şartı: Bir polinomda, değişkenin kuvvetleri (üsleri) negatif olmayan tam sayılar olmak zorundadır. Yani, $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi sayılar olabilirler. Kesirli, ondalıklı veya negatif kuvvetler bir polinomda bulunamaz.
• Verilen İfadeyi İnceleyelim: Soruda verilen ifade $P(x) = 3x^a - 2x^b + 5x^c - 1$ bir polinom olarak tanımlanmıştır.
• Kuvvetleri Uygulayalım: Bu tanıma göre, $x$'in kuvvetleri olan $a$, $b$ ve $c$ sayıları negatif olmayan tam sayılar olmak zorundadır.
• Seçenekleri Değerlendirelim:
• A) $a, b, c$ pozitif tam sayılardır: Bu seçenek eksiktir. Pozitif tam sayılar $1, 2, 3, \dots$ demektir. Ancak bir polinomda kuvvet $0$ da olabilir (örneğin $x^0 = 1$, bu da sabit terimi oluşturur). Bu yüzden sadece pozitif tam sayılar demek doğru değildir.
• B) $a, b, c$ negatif olmayan tam sayılardır: Negatif olmayan tam sayılar $0, 1, 2, 3, \dots$ anlamına gelir. Bu, polinom tanımındaki kuvvet şartıyla tamamen örtüşmektedir. Bu seçenek kesinlikle doğrudur.
• C) $a, b, c$ rasyonel sayılardır: Rasyonel sayılar kesirli sayıları da içerir (örneğin $1/2$). Eğer bir kuvvet $1/2$ olsaydı ($x^{1/2} = \sqrt{x}$), bu ifade bir polinom olmazdı. Bu yüzden bu seçenek yanlıştır.
• D) $a, b, c$ gerçek sayılardır: Gerçek sayılar rasyonel ve irrasyonel sayıları (örneğin $\sqrt{2}$) içerir. Eğer bir kuvvet $\sqrt{2}$ olsaydı ($x^{\sqrt{2}}$), bu ifade bir polinom olmazdı. Bu yüzden bu seçenek de yanlıştır.
• Yukarıdaki değerlendirmeler sonucunda, bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenlerin kuvvetlerinin kesinlikle negatif olmayan tam sayılar olması gerektiği sonucuna varırız.

Cevap B seçeneğidir.