sin75° + sin15° ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt{6}}{2}\)
C) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
D) \(\frac{\sqrt{6}}{4}\)
Sevgili öğrenciler, bu soruda iki sinüs değerinin toplamını bulmamız isteniyor. Bu tür ifadeleri çözmek için genellikle toplam-çarpım formüllerini kullanmak işimizi kolaylaştırır. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: İfadeyi Tanımlama
- Bizden istenen ifade $\sin75^\circ + \sin15^\circ$ değeridir.
- Adım 2: Toplam-Çarpım Formülünü Hatırlama
- İki sinüsün toplamı için kullanılan toplam-çarpım formülü şöyledir:
- $\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
- Bu formül, iki sinüs değerinin toplamını, sinüs ve kosinüs değerlerinin çarpımına dönüştürmemizi sağlar.
- Adım 3: Formülü Uygulama
- Burada $A = 75^\circ$ ve $B = 15^\circ$ olarak alabiliriz. Şimdi formüldeki açıları hesaplayalım:
- Önce toplamın yarısını bulalım: $\frac{A+B}{2} = \frac{75^\circ+15^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$
- Sonra farkın yarısını bulalım: $\frac{A-B}{2} = \frac{75^\circ-15^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
- Bu değerleri formüle yerleştirelim:
- $\sin75^\circ + \sin15^\circ = 2 \sin(45^\circ) \cos(30^\circ)$
- Adım 4: Bilinen Trigonometrik Değerleri Yerine Koyma
- $45^\circ$ ve $30^\circ$ özel açılardır ve sinüs/kosinüs değerleri bilinen değerlerdir:
- $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- Şimdi bu değerleri denklemimize yerleştirelim:
- $2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
- Adım 5: İfadeyi Sadeleştirme
- Çarpma işlemini yapalım:
- $2 \times \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{2 \times 2} = 2 \times \frac{\sqrt{6}}{4}$
- Şimdi sadeleştirelim. Paydaki $2$ ile paydadaki $4$ sadeleşir:
- $\frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
Böylece $\sin75^\circ + \sin15^\circ$ ifadesinin eşiti $\frac{\sqrt{6}}{2}$ olarak bulunur.
Cevap B seçeneğidir.
