g(x) = x³ - x ve h(x) = x² + 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre (goh)(x) bileşke fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Tek fonksiyondur
B) Çift fonksiyondur
C) Periyodik fonksiyondur
D) Birebir fonksiyondur
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda iki fonksiyonun bileşkesini alıp, elde ettiğimiz yeni fonksiyonun özelliklerini inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Verilen Fonksiyonları Anlayalım
- Bize $g(x) = x^3 - x$ ve $h(x) = x^2 + 1$ fonksiyonları verilmiş.
- 2. Adım: Bileşke Fonksiyonu $(goh)(x)$'i Bulalım
- $(goh)(x)$ demek, $g$ fonksiyonunun içine $h(x)$ fonksiyonunu yazmak demektir. Yani $g(h(x))$'i hesaplayacağız.
- $g(x)$ fonksiyonunda gördüğümüz her $x$ yerine $h(x)$'i yazmalıyız:
- $g(h(x)) = (h(x))^3 - (h(x))$
- Şimdi $h(x)$'in değerini yerine koyalım:
- $g(h(x)) = (x^2 + 1)^3 - (x^2 + 1)$
- 3. Adım: Bileşke Fonksiyonu Sadeleştirelim
- $(x^2 + 1)^3$ ifadesini açalım. $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ özdeşliğini kullanalım:
- $(x^2 + 1)^3 = (x^2)^3 + 3(x^2)^2(1) + 3(x^2)(1)^2 + (1)^3$
- $= x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1$
- Şimdi bu ifadeyi bileşke fonksiyonumuzda yerine yazalım:
- $(goh)(x) = (x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1) - (x^2 + 1)$
- Parantezleri açıp benzer terimleri toplayalım:
- $(goh)(x) = x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1 - x^2 - 1$
- $(goh)(x) = x^6 + 3x^4 + (3x^2 - x^2) + (1 - 1)$
- $(goh)(x) = x^6 + 3x^4 + 2x^2$
- 4. Adım: Elde Edilen Fonksiyonun Özelliklerini İnceleyelim
- Şimdi $(goh)(x) = x^6 + 3x^4 + 2x^2$ fonksiyonunun tek mi, çift mi olduğunu kontrol edelim.
- Bir fonksiyon $f(x)$'in çift fonksiyon olması için $f(-x) = f(x)$ eşitliğini sağlaması gerekir.
- Bir fonksiyon $f(x)$'in tek fonksiyon olması için $f(-x) = -f(x)$ eşitliğini sağlaması gerekir.
- $(goh)(x)$ fonksiyonunda $x$ yerine $-x$ yazalım:
- $(goh)(-x) = (-x)^6 + 3(-x)^4 + 2(-x)^2$
- Üsler çift olduğu için negatif işaretler pozitif olur:
- $(-x)^6 = x^6$
- $(-x)^4 = x^4$
- $(-x)^2 = x^2$
- Yani:
- $(goh)(-x) = x^6 + 3x^4 + 2x^2$
- Gördüğümüz gibi, $(goh)(-x)$ ifadesi, $(goh)(x)$'in aynısıdır:
- $(goh)(-x) = (goh)(x)$
- Bu durumda, $(goh)(x)$ bir çift fonksiyondur.
- 5. Adım: Diğer Seçenekleri Değerlendirelim
- C) Periyodik fonksiyondur: Polinom fonksiyonlar (sabit fonksiyonlar hariç) periyodik değildir. Bu fonksiyonun değerleri belirli aralıklarla tekrar etmez.
- D) Birebir fonksiyondur: Bir fonksiyonun birebir olması için her farklı $x$ değeri için farklı $y$ değeri üretmesi gerekir. Çift fonksiyonlarda $f(x) = f(-x)$ olduğu için, $x \neq -x$ olmasına rağmen aynı $y$ değerini alırlar (örneğin $(goh)(1) = 6$ ve $(goh)(-1) = 6$). Bu nedenle çift fonksiyonlar (tanım kümesi kısıtlanmadıkça) birebir değildir.
Sonuç olarak, $(goh)(x)$ fonksiyonu bir çift fonksiyondur.
Cevap B seçeneğidir.
