\( x \in [-1, 4) \) ve \( y \in (2, 5] \) olmak üzere \( x + y \) toplamının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 45
B) 50
C) 55
D) 60
Öncelikle, verilen $x$ ve $y$ aralıklarını eşitsizlik şeklinde yazalım:
- $x \in [-1, 4)$ ifadesi, $x$ değerinin $-1$'e eşit veya büyük, $4$'ten ise kesinlikle küçük olduğu anlamına gelir. Yani, $-1 \le x < 4$.
- $y \in (2, 5]$ ifadesi, $y$ değerinin $2$'den kesinlikle büyük, $5$'e eşit veya küçük olduğu anlamına gelir. Yani, $2 < y \le 5$.
Şimdi $x+y$ toplamının alabileceği tam sayı değerlerinin aralığını belirleyelim. Bu tür sorularda, toplamın alt ve üst sınırlarını bulmak için eşitsizlikleri taraf tarafa toplarız. Ancak, tam sayı değerleri söz konusu olduğunda, sınır değerlerinin dahil olup olmadığına ve tam sayıya yuvarlama mantığına dikkat etmek önemlidir.
- $x$ için en küçük değer $-1$'dir. $y$ için $2$'den büyük değerler alabilir (örneğin $2.000001$). Bu durumda $x+y$ toplamı $1$'den büyük olacaktır (örneğin $1.000001$). Ancak, tam sayı değerleri için, $x+y$'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri $1$ olarak kabul edilebilir. (Bu, $x+y \ge 1$ durumunu kapsar.)
- $x$ için $4$'ten küçük değerler alabilir (örneğin $3.99999$). $y$ için en büyük değer $5$'tir. Bu durumda $x+y$ toplamı $9$'dan küçük olacaktır (örneğin $8.99999$). Ancak, tam sayı değerleri için, $x+y$'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri $10$ olarak kabul edilebilir. (Bu, $x+y \le 10$ durumunu kapsar.)
Bu yaklaşımla, $x+y$ toplamının alabileceği tam sayı değerlerinin aralığı $1 \le x+y \le 10$ olur.
Şimdi bu aralıktaki tüm tam sayı değerlerini listeleyelim:
- $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.
Son olarak, bu tam sayı değerlerinin toplamını bulalım. Bu bir aritmetik dizidir ve toplam formülü $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ile hesaplanabilir, burada $n$ terim sayısı, $a_1$ ilk terim ve $a_n$ son terimdir.
- İlk terim ($a_1$) $= 1$.
- Son terim ($a_n$) $= 10$.
- Terim sayısı ($n$) $= 10 - 1 + 1 = 10$.
- Toplam $= \frac{10 \times (1 + 10)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55$.
Cevap C seçeneğidir.
