Bir marketteki ürün fiyatları 2, 3 ve 5 sayılarına tam bölünecek şekilde ayarlanmıştır. Bu marketteki bir ürünün fiyatı 4'e bölündüğünde 1 kalanını vermektedir. Bu ürünün fiyatı 100 TL'den az olduğuna göre kaç TL olabilir?
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu çözerken öncelikle soruyu dikkatlice okuyup anlamamız gerekiyor. Soruda bizden istenen, fiyatı 2, 3 ve 5'e bölünebilen ve 4'e bölündüğünde 1 kalanını veren, 100 TL'den düşük bir ürünün fiyatını bulmak.
Şimdi adım adım ilerleyelim:
- 2, 3 ve 5'e bölünebilme kuralı: Bir sayının 2, 3 ve 5'e tam bölünebilmesi için bu sayıların en küçük ortak katına (EKOK) bölünmesi gerekir. 2, 3 ve 5'in EKOK'u 30'dur. Yani ürünün fiyatı 30'un katı olmalı (30, 60, 90...).
- 4'e bölündüğünde 1 kalanını verme kuralı: Şimdi de 30'un katlarından hangisinin 4'e bölündüğünde 1 kalanını verdiğini bulmalıyız. Bu katları tek tek inceleyelim:
- 30 / 4 = 7 kalan 2 (Olmaz)
- 60 / 4 = 15 kalan 0 (Olmaz)
- 90 / 4 = 22 kalan 2 (Olmaz)
Gördüğümüz gibi 30'un katları direkt işe yaramadı. Ancak sorunun başında 2, 3 ve 5'e tam bölünecek dediği için, aslında 30'un katları olan sayılara ekleme yaparak 4'e bölündüğünde 1 kalanını veren sayıyı bulabiliriz. Şöyle de düşünebiliriz: 30'un katlarını 4'e böldüğümüzde hep 2 kalanını alıyoruz. Bu kalanı 1'e düşürmek için 3 eklememiz gerekiyor.
Şimdi de 30'un katlarına 15 (30/2 = 15) ekleyelim. Çünkü 30 sayısının kendisi 2,3 ve 5'e tam bölünüyor, 15 ise 4'e bölündüğünde 3 kalanını veriyor, bu yüzden 30 ile 15'i toplayıp 4'e böldüğümüzde 1 kalanını verecektir.
- 30 + 15 = 45 --> 45 / 4 = 11 kalan 1 (Olabilir)
- 60 + 15 = 75 --> 75 / 4 = 18 kalan 3 (Olmaz)
- 90 + 15 = 105 --> 105 / 4 = 26 kalan 1 (100 TL'den fazla olduğu için olmaz)
- Kontrol ve Sonuç:
- A) 30 sayısı 4'e bölündüğünde 2 kalanını verir.
- B) 45 sayısı 4'e bölündüğünde 1 kalanını verir. Ancak 45 sayısı 2, 3 ve 5'e tam bölünemez, 3'e bölündüğünde 0 kalanını verir, 2 ve 5'e bölündüğünde tam bölünemez.
- C) 60 sayısı 4'e bölündüğünde 0 kalanını verir.
- D) 75 sayısı 2, 3 ve 5'e bölünebilir mi kontrol edelim: 75/2 = 37,5 (Bölünemez) , 75/3 = 25, 75/5=15 (2'ye bölünemedi) ve 4'e bölündüğünde 3 kalanını verir. (Olmaz)
Yanlış çözdüğümüzü fark ettik, en başta 30'un katlarına 4'e bölündüğünde 1 kalanını vereni arıyorduk. Bulduğumuz sayılar 30'un katları + 15 şeklinde gittiği için soruyu çözemiyoruz. 30'un katlarına 4'e bölündüğünde 1 kalanını vereni bulmak yerine şöyle de düşünebiliriz: 30'un katları x kadar artacak, bu artış 4'e bölündüğünde 1 kalanını verecek, x'i bulmak için 30'un katlarını 4'e bölelim.
- 30 sayısı 4'e bölündüğünde 2 kalanını verir, 4'e bölündüğünde 1 kalanını veren sayıyı bulmamız için +3 ile toplayıp 5 elde etmeliyiz. 4'ün katlarına 3 eklediğimizde her zaman 4'e bölündüğünde 3 kalanını veren sayılar elde ederiz. Bu durumda 30'un katlarına 4'e bölündüğünde 1 kalanını verecek en küçük sayıyı eklemeliyiz. Bu sayı 15'tir.
- A) 30 sayısı 2,3 ve 5'e tam bölünür ancak 4'e bölündüğünde 2 kalanını verir.
- B) 45 sayısı 4'e bölündüğünde 1 kalanını verir ancak 2 ve 5'e tam bölünemez.
- C) 60 sayısı 2,3 ve 5'e tam bölünür ancak 4'e bölündüğünde 0 kalanını verir.
- D) 75 sayısı 2'ye tam bölünemez ancak 3 ve 5'e tam bölünür ve 4'e bölündüğünde 3 kalanını verir.
Demek ki cevabımız 75 sayısı. Çünkü 3'e ve 5'e bölünüyor ve 4'e bölündüğünde 3 kalanını veriyor. Soruda bir hata var gibi!
Şimdi de soruyu daha farklı bir yaklaşımla çözmeye çalışalım.
- 2, 3 ve 5'e tam bölünebilen sayılar aynı zamanda 30'un katlarıdır. 30'un katlarını yazalım: 30, 60, 90...
- Şimdi de bu sayılardan 4'e bölündüğünde 1 kalanını veren sayıları bulalım.
- Bu sayılar 4k+1 şeklinde olmalı. 4k+1 = 30x (x, 30'un katlarını temsil ediyor.)
- Burada x yerine değer vererek sonuca ulaşabiliriz. x = 1, 2, 3...
- x = 1 için 30 sayısı 4'e bölündüğünde 2 kalanını verir.
- x = 2 için 60 sayısı 4'e bölündüğünde 0 kalanını verir.
- x = 3 için 90 sayısı 4'e bölündüğünde 2 kalanını verir.
- Burada 4'e bölündüğünde 1 kalanını veren sayılar yok. Ancak soruda 100'den küçük bir sayı arıyoruz.
- Soruyu tekrar okuyalım: 2, 3 ve 5'e tam bölünecek şekilde ayarlanmıştır.
- A) 30 / 2 = 15, 30/ 3 = 10, 30 / 5 = 6 (Uygun ancak 4'e bölündüğünde 2 kalanını verir)
- B) 45 / 2 = 22,5 (Olmaz), 45 / 3 = 15, 45 / 5 = 9 (4'e bölündüğünde 1 kalanını verir)
- C) 60 / 2 = 30, 60 / 3 = 20, 60 / 5 = 12 (Uygun ancak 4'e bölündüğünde 0 kalanını verir)
- D) 75 / 2 = 37,5 (Olmaz), 75 / 3 = 25, 75 / 5 = 15 (4'e bölündüğünde 3 kalanını verir)
Yine de 75 sayısı cevap gibi durmuyor. Soruyu dikkatlice tekrar kontrol edelim, soruda bir hata olabilir!
- Sonuç
Soruda bir problem var gibi duruyor. Ancak şıklara baktığımızda en mantıklı cevap D) 75 seçeneğidir. Çünkü 75, 3 ve 5'e bölünebiliyor. 2'ye bölünememesi ve 4'e bölündüğünde 3 kalanını vermesi sorunun hatalı olduğunu gösteriyor.
Cevap D seçeneğidir
