"İki tek sayının toplamı her zaman çift sayıdır" ifadesi için karşıt örnek arayan bir öğrenci aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisini denemelidir?
A) 3 ve 5
B) 7 ve 9
C) 11 ve 13
D) Hiçbiri (çünkü bu ifade her zaman doğrudur)
Bu soruda, "İki tek sayının toplamı her zaman çift sayıdır" ifadesi için bir karşıt örnek arayan bir öğrencinin hangi seçeneği denemesi gerektiğini bulmamız isteniyor. Öncelikle, karşıt örneğin ne olduğunu ve ifadenin anlamını hatırlayalım:
- Bir ifadenin karşıt örneği, o ifadenin yanlış olduğunu gösteren özel bir durumdur. Eğer bir ifade "her zaman" doğru olduğu iddia ediliyorsa, karşıt örnek bu iddiayı çürüten bir durum olmalıdır.
- Bizim ifademiz, hangi iki tek sayıyı alırsak alalım, toplamlarının her zaman çift olacağını söylüyor. Eğer bu ifade gerçekten her zaman doğruysa, karşıt örnek bulmamız imkansızdır.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim ve her bir çiftin toplamının ne olduğuna bakalım:
- A) 3 ve 5: Her ikisi de tek sayıdır. Toplamları $3 + 5 = 8$ eder. $8$ bir çift sayıdır. Bu örnek, ifadenin doğru olduğunu destekler, bir karşıt örnek değildir.
- B) 7 ve 9: Her ikisi de tek sayıdır. Toplamları $7 + 9 = 16$ eder. $16$ bir çift sayıdır. Bu örnek de ifadenin doğru olduğunu destekler, bir karşıt örnek değildir.
- C) 11 ve 13: Her ikisi de tek sayıdır. Toplamları $11 + 13 = 24$ eder. $24$ bir çift sayıdır. Bu örnek de ifadenin doğru olduğunu destekler, bir karşıt örnek değildir.
Gördüğümüz gibi, verilen tüm sayı çiftleri ifadenin doğru olduğunu gösteriyor. Bu durum, ifadenin gerçekten de her zaman doğru olabileceği ihtimalini güçlendiriyor. Peki, matematiksel olarak bu ifadeyi nasıl kanıtlarız?
- Bir tek sayıyı genel olarak $2k + 1$ şeklinde ifade edebiliriz, burada $k$ herhangi bir tam sayıdır.
- İki farklı tek sayı alalım: Birincisi $2k_1 + 1$ olsun, ikincisi $2k_2 + 1$ olsun (burada $k_1$ ve $k_2$ farklı tam sayılar olabilir).
- Bu iki tek sayının toplamını bulalım: $(2k_1 + 1) + (2k_2 + 1)$.
- Toplama işlemini yaparsak: $2k_1 + 2k_2 + 1 + 1 = 2k_1 + 2k_2 + 2$.
- Bu ifadeyi $2$ ortak çarpan parantezine alırsak: $2(k_1 + k_2 + 1)$.
- $k_1$ ve $k_2$ tam sayılar olduğu için, $k_1 + k_2 + 1$ de bir tam sayı olacaktır. Bu tam sayıya $M$ diyelim.
- O zaman toplam $2M$ şeklinde yazılabilir.
- Bir sayının $2M$ şeklinde yazılabilmesi, o sayının çift sayı olduğu anlamına gelir.
Bu matematiksel kanıt, iki tek sayının toplamının her zaman bir çift sayı olacağını açıkça göstermektedir. Dolayısıyla, bu ifade için bir karşıt örnek bulmak mümkün değildir.
Bu nedenle, öğrencinin denemesi gereken seçenek, böyle bir karşıt örneğin var olmadığını belirten seçenektir.
Cevap D seçeneğidir.
