Sayı dizileri (Sayısal mantık) Test 2

Bir geometrik dizinin ilk üç teriminin toplamı 21, bu terimlerin kareleri toplamı 189'dir. Buna göre bu dizinin ortak çarpanı kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir geometrik dizinin özelliklerini kullanarak ortak çarpanı bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Geometrik Dizinin Terimlerini Tanımlayalım:

  Bir geometrik dizinin ilk terimine $a$, ortak çarpanına $r$ diyelim. Bu durumda dizinin ilk üç terimi şu şekilde ifade edilir:

  • Birinci terim: $a_1 = a$
  • İkinci terim: $a_2 = ar$
  • Üçüncü terim: $a_3 = ar^2$
• 2. Verilen Bilgileri Matematiksel Denklemlere Dönüştürelim:

  Soruda verilen iki bilgiyi kullanarak iki denklem oluşturalım:

  • İlk üç terimin toplamı 21:
    $a + ar + ar^2 = 21$
    Bu denklemi $a$ parantezine alırsak: $a(1 + r + r^2) = 21$ (Denklem 1)
  • Bu terimlerin kareleri toplamı 189:
    $a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 189$
    $a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 = 189$
    Bu denklemi $a^2$ parantezine alırsak: $a^2(1 + r^2 + r^4) = 189$ (Denklem 2)
• 3. Denklemleri Basitleştirelim:

  Denklem 2'deki $1 + r^2 + r^4$ ifadesini çarpanlarına ayırabiliriz. Bilinen bir özdeşlik şöyledir: $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$. Bu özdeşliği kullanarak Denklem 2'yi yeniden yazalım:

  $a^2(1 + r + r^2)(1 - r + r^2) = 189$

  Şimdi Denklem 2'yi Denklem 1'e bölelim. Bu işlem $a$ terimini ortadan kaldırmamıza yardımcı olacaktır:

  $\frac{a^2(1 + r + r^2)(1 - r + r^2)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{189}{21}$

  Sadeleştirmeleri yaparsak:

  $a(1 - r + r^2) = 9$ (Denklem 3)

• 4. Yeni Denklemler Sistemini Çözelim:

  Şimdi elimizde $a$ ve $r$ içeren iki daha basit denklem var:

  • $a(1 + r + r^2) = 21$ (Denklem 1)
  • $a(1 - r + r^2) = 9$ (Denklem 3)

  Bu iki denklemi birbirine bölersek $a$ terimi tamamen yok olur ve sadece $r$ cinsinden bir denklem elde ederiz:

  $\frac{a(1 + r + r^2)}{a(1 - r + r^2)} = \frac{21}{9}$

  Sadeleştirmeleri yapalım ($21/9 = 7/3$):

  $\frac{1 + r + r^2}{1 - r + r^2} = \frac{7}{3}$

• 5. Ortak Çarpan $r$'yi Bulalım:

  Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak $r$ için bir denklem oluşturalım:

  $3(1 + r + r^2) = 7(1 - r + r^2)$

  Parantezleri açalım:

  $3 + 3r + 3r^2 = 7 - 7r + 7r^2$

  Tüm terimleri bir tarafa toplayarak denklemi düzenleyelim:

  $0 = 7r^2 - 3r^2 - 7r - 3r + 7 - 3$

  $0 = 4r^2 - 10r + 4$

  Denklemin her iki tarafını 2'ye bölelim:

  $2r^2 - 5r + 2 = 0$

  Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlarına ayırarak veya diskriminant formülüyle çözebiliriz. Çarpanlarına ayıralım:

  $(2r - 1)(r - 2) = 0$

  Buradan iki olası $r$ değeri elde ederiz:

  • $2r - 1 = 0 \Rightarrow 2r = 1 \Rightarrow r = \frac{1}{2}$
  • $r - 2 = 0 \Rightarrow r = 2$
• 6. Sonucu Değerlendirelim:

  Ortak çarpan $r$ için iki değer bulduk: $1/2$ ve $2$. Seçeneklere baktığımızda $2$ değeri bulunmaktadır.

  Eğer $r=2$ ise, Denklem 1'den $a(1+2+2^2)=21 \Rightarrow a(7)=21 \Rightarrow a=3$. Terimler $3, 6, 12$ olur. Toplamları $3+6+12=21$. Kareleri toplamı $3^2+6^2+12^2 = 9+36+144=189$. Bu değerler sorudaki koşulları sağlar.

  Eğer $r=1/2$ ise, Denklem 1'den $a(1+1/2+(1/2)^2)=21 \Rightarrow a(1+1/2+1/4)=21 \Rightarrow a(7/4)=21 \Rightarrow a=12$. Terimler $12, 6, 3$ olur. Toplamları $12+6+3=21$. Kareleri toplamı $12^2+6^2+3^2 = 144+36+9=189$. Bu değerler de sorudaki koşulları sağlar.

  Sorunun seçeneklerinde sadece $2$ bulunduğu için doğru cevap $2$'dir.

Cevap B seçeneğidir.