Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, mutlak değer içeren bir integralin nasıl hesaplanacağını anlamak için ilk adımı atıyoruz: mutlak değerli ifadeyi parçalı fonksiyon olarak yazarken hangi aralıkları kullanmamız gerektiğini belirliyoruz. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Mutlak Değerin İçini Sıfır Yapan Noktayı Bulma
- Mutlak değer fonksiyonu $|x+1|$ ifadesini inceliyoruz. Mutlak değerin içindeki ifade olan $x+1$'in işaret değiştirdiği noktayı bulmalıyız. Bunun için $x+1 = 0$ denklemini çözeriz.
- $x+1 = 0 \implies x = -1$.
- Bu nokta, integralin parçalanması gereken "kritik nokta" veya "kırılma noktası"dır.
- 2. Adım: Mutlak Değer Fonksiyonunu Parçalı Fonksiyon Olarak Yazma
- Mutlak değerin tanımına göre:
- Eğer $x+1 \ge 0$ ise (yani $x \ge -1$ ise), $|x+1| = x+1$ olur.
- Eğer $x+1 < 0$ ise (yani $x < -1$ ise), $|x+1| = -(x+1)$ olur.
- 3. Adım: İntegral Sınırlarını ve Kritik Noktayı Karşılaştırma
- Bize verilen integralin sınırları $x = -2$ ile $x = 3$ arasındadır. Yani integral aralığımız $[-2, 3]$'tür.
- Bulduğumuz kritik nokta $x = -1$, bu integral aralığının içine düşmektedir (çünkü $-2 < -1 < 3$).
- Bu durumda, integrali kritik noktada parçalamamız gerekir.
- 4. Adım: İntegral İçin Doğru Aralıkları Belirleme
- İntegralimiz $x = -2$'den başlar ve kritik nokta $x = -1$'e kadar devam eder. Bu ilk aralığımızdır: $[-2, -1]$.
- Kritik nokta $x = -1$'den başlar ve integralin üst sınırı $x = 3$'e kadar devam eder. Bu ikinci aralığımızdır: $[-1, 3]$.
- Dolayısıyla, $\int_{-2}^{3} |x + 1| dx$ integralini hesaplarken, integrali $\int_{-2}^{-1} |x + 1| dx + \int_{-1}^{3} |x + 1| dx$ şeklinde iki parçaya ayırmalıyız.
- Bu aralıklarda mutlak değer fonksiyonu farklı şekillerde tanımlanacaktır:
- $x \in [-2, -1]$ aralığında, $x < -1$ olduğu için $x+1 < 0$ ve dolayısıyla $|x+1| = -(x+1)$ olur.
- $x \in [-1, 3]$ aralığında, $x \ge -1$ olduğu için $x+1 \ge 0$ ve dolayısıyla $|x+1| = x+1$ olur.
Bu adımları takip ettiğimizde, kullanmamız gereken aralıkların $[-2, -1]$ ve $[-1, 3]$ olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
