Bugün, iç içe mutlak değer içeren bir belirli integrali adım adım nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. Sorumuz: $ \int_{0}^{4} |2 - |x - 2|| dx $ integralinin değeri kaçtır?
Bu tür soruları çözerken en önemli adım, mutlak değer ifadelerini parçalı fonksiyonlar şeklinde yazarak mutlak değer işaretlerinden kurtulmaktır. İçten dışa doğru ilerleyelim.
- Adım 1: İçteki Mutlak Değer İfadesini İnceleyelim
- İçteki mutlak değer ifademiz $ |x - 2| $ şeklindedir. Bu ifade, $x=2$ noktasında işaret değiştirir.
- Bu nedenle, integral aralığımız olan $ [0, 4] $ aralığını $ [0, 2] $ ve $ [2, 4] $ olarak ikiye ayırmamız gerekecek.
- Eğer $ x \in [0, 2] $ ise, $ x - 2 \le 0 $ olacağından $ |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x $ olur.
- Eğer $ x \in [2, 4] $ ise, $ x - 2 \ge 0 $ olacağından $ |x - 2| = x - 2 $ olur.
- Adım 2: Dıştaki Mutlak Değer İfadesini İnceleyelim
- Şimdi, her iki aralık için $ |2 - |x - 2|| $ ifadesini ayrı ayrı değerlendirelim.
- Durum 1: $ x \in [0, 2] $ için
- Bu aralıkta $ |x - 2| = 2 - x $ olduğunu biliyoruz. Yerine yazarsak:
- $ |2 - (2 - x)| = |2 - 2 + x| = |x| $
- $ x \in [0, 2] $ aralığında $ x \ge 0 $ olduğu için $ |x| = x $ olur.
- Yani, $ \int_{0}^{2} |2 - |x - 2|| dx = \int_{0}^{2} x dx $ haline gelir.
- Durum 2: $ x \in [2, 4] $ için
- Bu aralıkta $ |x - 2| = x - 2 $ olduğunu biliyoruz. Yerine yazarsak:
- $ |2 - (x - 2)| = |2 - x + 2| = |4 - x| $
- $ x \in [2, 4] $ aralığında $ 4 - x \ge 0 $ (örneğin $x=2$ için $4-2=2$, $x=4$ için $4-4=0$) olduğu için $ |4 - x| = 4 - x $ olur.
- Yani, $ \int_{2}^{4} |2 - |x - 2|| dx = \int_{2}^{4} (4 - x) dx $ haline gelir.
- Adım 3: İntegralleri Hesaplayalım
- Şimdi her iki belirli integrali ayrı ayrı hesaplayıp sonuçları toplayalım.
- Birinci integral: $ \int_{0}^{2} x dx $
- $ \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2 $
- İkinci integral: $ \int_{2}^{4} (4 - x) dx $
- $ \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{4} = \left( 4(4) - \frac{4^2}{2} \right) - \left( 4(2) - \frac{2^2}{2} \right) $
- $ = \left( 16 - \frac{16}{2} \right) - \left( 8 - \frac{4}{2} \right) $
- $ = (16 - 8) - (8 - 2) $
- $ = 8 - 6 = 2 $
- Adım 4: Sonuçları Toplayalım
- Toplam integral değeri, her iki integralin değerlerinin toplamıdır:
- $ 2 + 2 = 4 $
- Ek Bilgi: Grafiksel Yorum
- Bu integral, $ y = |2 - |x - 2|| $ fonksiyonunun $ x=0 $ ile $ x=4 $ arasındaki x-ekseni ile sınırladığı alanı ifade eder. Fonksiyonun grafiğini çizerseniz, $ (0,0) $, $ (4,0) $ ve $ (2,2) $ noktalarını birleştiren bir üçgen oluştuğunu görürsünüz. Bu üçgenin tabanı $ 4 $ birim, yüksekliği ise $ 2 $ birimdir. Üçgenin alanı $ \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4 $ birimkaredir. Bu da integralin sonucunu doğrular.
Cevap C seçeneğidir.
