İki Paralel Doğru ve Bir Kesen Nedir? 5. Sınıf Test 1

İki paralel doğru arasındaki uzaklık 4 cm'dir. Bu iki paralel doğruyu kesen bir doğru çizildiğinde, kesenin paralel doğrularla yaptığı açılar 45° ise, kesenin paralel doğrular arasında kalan parçasının uzunluğu yaklaşık kaç cm'dir?

A) 4√2
B) 5,6
C) 6,4
D) 8

Sevgili öğrenciler, bu problemde geometri ve trigonometri bilgilerimizi kullanarak bir uzunluk hesaplaması yapacağız. Adım adım ilerleyerek soruyu kolayca anlayıp çözebiliriz.

• 1. Problemi Anlayalım ve Görselleştirelim:

  İki paralel doğru hayal edin. Bu doğrular arasındaki dik uzaklık (yani en kısa mesafe) $4$ cm'dir. Şimdi bu iki doğruyu kesen bir başka doğru çiziyoruz. Bu kesen doğru, paralel doğrularla $45^\circ$ derecelik bir açı yapıyor. Bizden istenen, kesen doğrunun paralel doğrular arasında kalan parçasının uzunluğudur.

• 2. Bir Dik Üçgen Oluşturalım:

  Kesenin paralel doğrular arasında kalan parçasının uzunluğunu bulmak için bir dik üçgen oluşturabiliriz. Kesenin üstteki paralel doğruyu kestiği noktadan, alttaki paralel doğruya bir dikme indirelim. Bu dikme, paralel doğrular arasındaki uzaklığı temsil eder ve uzunluğu $4$ cm'dir. Böylece, kesenin paralel doğrular arasında kalan kısmı hipotenüs, indirdiğimiz dikme bir dik kenar ve diğer dik kenar da paralel doğru üzerinde oluşan bir parça olan bir dik üçgen elde etmiş oluruz.

• 3. Dik Üçgenin Kenarlarını ve Açılarını Belirleyelim:
  • Oluşan dik üçgenin bir dik kenarı, paralel doğrular arasındaki uzaklık olduğu için $4$ cm'dir.
  • Kesenin paralel doğrular arasında kalan parçası, bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Bu uzunluğa $x$ diyelim, amacımız $x$'i bulmak.
  • Kesenin paralel doğrularla yaptığı açı $45^\circ$ olarak verilmiştir. Bu açı, oluşturduğumuz dik üçgenin iç açılarından biridir (hipotenüs ile $4$ cm'lik dik kenarın karşısındaki açı).
• 4. Trigonometrik Oranları Kullanalım:

  Bir dik üçgende, bir açının sinüsü, o açının karşısındaki dik kenarın hipotenüse oranına eşittir. Bu bilgiyi kullanarak $x$ değerini bulabiliriz:

  • Açımız: $45^\circ$
  • Açının karşısındaki dik kenar: $4$ cm (paralel doğrular arası uzaklık)
  • Hipotenüs: $x$ (kesenin paralel doğrular arasında kalan parçası)
  • Formül: $\sin(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}}$
• 5. Hesaplamaları Yapalım:
  • $\sin(45^\circ) = \frac{4}{x}$
  • $\sin(45^\circ)$'nin değeri $\frac{\sqrt{2}}{2}$'dir.
  • Denklemimizi yerine yazalım: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{x}$
  • Şimdi $x$'i bulmak için denklemi çözelim: $x \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2$
  • $x \cdot \sqrt{2} = 8$
  • $x = \frac{8}{\sqrt{2}}$
  • Paydayı rasyonel yapmak için hem payı hem de paydayı $\sqrt{2}$ ile çarpalım: $x = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2}$
  • $x = 4\sqrt{2}$ cm.
• 6. Yaklaşık Değeri Bulalım ve Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Seçenekler ondalık sayı olarak verildiği için, bulduğumuz $4\sqrt{2}$ değerinin yaklaşık karşılığını hesaplamamız gerekiyor.

  • $\sqrt{2}$'nin yaklaşık değeri $1.414$'tür.
  • $x = 4 \times 1.414 = 5.656$ cm.
  • Bu değere en yakın seçenek $5.6$ cm'dir.

Cevap B seçeneğidir.