Bir küpün hacmi 64 cm³'tür. Bu küpün bir kenar uzunluğu ile yüzey alanının geometrik ortalaması kaç cm'dir?
A) 8√6Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım çözerek küpün özelliklerini ve geometrik ortalama kavramını pekiştirelim. Hazırsanız başlayalım!
Bir küpün hacmi, bir kenar uzunluğunun küpü alınarak bulunur. Yani, kenar uzunluğu $a$ ise hacim $V = a^3$ formülüyle hesaplanır. Soruda hacim $64 \text{ cm}^3$ olarak verilmiş.
$V = a^3$
$64 = a^3$
Hangi sayının küpü $64$ eder? $4 \times 4 \times 4 = 64$ olduğundan, küpün bir kenar uzunluğu $a = 4 \text{ cm}$'dir.
$a = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ cm}$
Bir küpün $6$ tane eş karesel yüzeyi vardır. Her bir yüzeyin alanı $a^2$ olduğundan, küpün toplam yüzey alanı $A = 6a^2$ formülüyle bulunur. Bir önceki adımda kenar uzunluğunu $a = 4 \text{ cm}$ olarak bulmuştuk.
$A = 6a^2$
$A = 6 \times (4)^2$
$A = 6 \times 16$
$A = 96 \text{ cm}^2$
İki sayının (diyelim ki $x$ ve $y$) geometrik ortalaması, bu iki sayının çarpımının karekökü alınarak bulunur. Yani, Geometrik Ortalama $= \sqrt{x \cdot y}$ formülüyle hesaplanır.
Bizim durumumuzda, $x$ küpün bir kenar uzunluğu ($a = 4 \text{ cm}$) ve $y$ küpün yüzey alanı ($A = 96 \text{ cm}^2$).
Geometrik Ortalama $= \sqrt{a \cdot A}$
Geometrik Ortalama $= \sqrt{4 \cdot 96}$
Geometrik Ortalama $= \sqrt{384}$
Şimdi $\sqrt{384}$ ifadesini en sade haline getirmemiz gerekiyor. Bunun için $384$ sayısının çarpanları arasında tam kare sayılar ararız.
$384 = 64 \times 6$ (Çünkü $64$ bir tam karedir, $8^2 = 64$)
Geometrik Ortalama $= \sqrt{64 \times 6}$
Karekökün özelliklerinden yararlanarak bunu ayırabiliriz: $\sqrt{64} \times \sqrt{6}$
Geometrik Ortalama $= 8 \times \sqrt{6}$
Geometrik Ortalama $= 8\sqrt{6} \text{ cm}$
Böylece, küpün bir kenar uzunluğu ile yüzey alanının geometrik ortalamasını $8\sqrt{6} \text{ cm}$ olarak bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
