\(x^2 - 5x + 6 = 0\) denkleminin kökleri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 ve 3Bugün, $x^2 - 5x + 6 = 0$ şeklindeki bir ikinci dereceden denklemin köklerini nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür denklemleri çözmenin birkaç yolu vardır, ancak en yaygın ve anlaşılır yöntemlerden biri çarpanlara ayırma yöntemidir.
Elimizdeki denklem $x^2 - 5x + 6 = 0$ şeklindedir. Bu, genel olarak $ax^2 + bx + c = 0$ formundaki bir ikinci dereceden denklemdir. Bizim denklemimizde $a=1$, $b=-5$ ve $c=6$'dır.
Çarpanlara ayırma yönteminde, öyle iki sayı bulmaya çalışırız ki:
Bu iki sayının çarpımı, denklemin sabit terimi olan $c$ değerine (bizim durumumuzda $6$) eşit olsun.
Bu iki sayının toplamı, $x$'in katsayısı olan $b$ değerine (bizim durumumuzda $-5$) eşit olsun.
Şimdi bu iki sayıyı bulalım. Çarpımları $6$ olan sayı çiftlerini ve toplamlarını düşünelim:
$1 \times 6 = 6$ (Toplamları $1+6=7$)
$(-1) \times (-6) = 6$ (Toplamları $-1+(-6)=-7$)
$2 \times 3 = 6$ (Toplamları $2+3=5$)
$(-2) \times (-3) = 6$ (Toplamları $-2+(-3)=-5$)
Gördüğümüz gibi, $-2$ ve $-3$ sayıları hem çarpımları $6$ (sabit terim $c$) hem de toplamları $-5$ ($x$'in katsayısı $b$) koşulunu sağlamaktadır.
Bulduğumuz bu $-2$ ve $-3$ sayılarını kullanarak denklemi çarpanlarına ayırabiliriz:
$(x - 2)(x - 3) = 0$
İki sayının çarpımı sıfır ise, bu sayılardan en az biri sıfır olmalıdır. Bu prensibi kullanarak kökleri bulabiliriz:
Birinci çarpanı sıfıra eşitleyelim: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
İkinci çarpanı sıfıra eşitleyelim: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
Böylece denklemin köklerini $2$ ve $3$ olarak bulmuş olduk.
Bulduğumuz kökleri orijinal denklemde yerine koyarak doğruluğunu kontrol edebiliriz:
$x=2$ için: $(2)^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$. Doğru!
$x=3$ için: $(3)^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$. Doğru!
Bu adımları takip ederek, $x^2 - 5x + 6 = 0$ denkleminin köklerinin $2$ ve $3$ olduğunu bulduk.
Cevap A seçeneğidir.
