Bir dikdörtgenin alanı \(x^2 + 5x + 6\) birimkaredir. Bu dikdörtgenin kenar uzunluklarından biri \(x + 2\) birim olduğuna göre, diğer kenar uzunluğu kaç birimdir?
A) \(x + 1\)Bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımına eşittir. Bu bilgiyi kullanarak soruyu adım adım çözelim.
Bir dikdörtgenin alanı, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımına eşittir. Matematiksel olarak bunu şöyle ifade edebiliriz:
Alan = Kenar 1 $\times$ Kenar 2
Soruda bize dikdörtgenin alanı $x^2 + 5x + 6$ birimkare olarak verilmiş. Kenar uzunluklarından biri ise $x + 2$ birimdir. Diğer kenar uzunluğunu bulmak istiyoruz. Diğer kenara '?' diyelim.
$x^2 + 5x + 6 = (x + 2) \times \text{Diğer Kenar}$
Eğer çarpma işleminin bir sonucunu ve çarpanlardan birini biliyorsak, diğer çarpanı bulmak için bölme işlemi yaparız. Yani, alanı bilinen kenar uzunluğuna bölmeliyiz:
$\text{Diğer Kenar} = \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}$
Bu tür ifadelerde bölme işlemini kolaylaştırmak için paydaki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz. $x^2 + 5x + 6$ ifadesini çarpanlarına ayırırken, çarpımları $6$ olan ve toplamları $5$ olan iki sayı ararız. Bu sayılar $2$ ve $3$'tür.
Bu durumda, $x^2 + 5x + 6$ ifadesi $(x + 2)(x + 3)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Şimdi bulduğumuz çarpanları bölme işleminde yerine yazalım:
$\text{Diğer Kenar} = \frac{(x + 2)(x + 3)}{x + 2}$
Pay ve paydada ortak olan $(x + 2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz.
$\text{Diğer Kenar} = x + 3$
Buna göre, dikdörtgenin diğer kenar uzunluğu $x + 3$ birimdir.
Cevap B seçeneğidir.
