Parçalı fonksiyonun türevi Test 2

\( f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2}, & x \neq 2 \\ 5, & x = 2 \end{cases} \)
fonksiyonu veriliyor. Buna göre \( f'(2) \) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0
B) 1
C) 2
D) Mevcut değildir

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, parçalı tanımlı bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevini bulmamız isteniyor. Türev kavramı, bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim oranını ifade eder ve limit tanımıyla bulunur. Ancak, bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için öncelikle o noktada sürekli olması gerekir. Bu bilgileri göz önünde bulundurarak adım adım ilerleyelim:

• 1. Fonksiyonun $x \neq 2$ İçin Basitleştirilmesi:

  Fonksiyonun $x \neq 2$ için tanımlanan kısmını inceleyelim:

  $ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} $

  Pay kısmındaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ özdeşliğini kullanarak):

  $ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $

  Şimdi $f(x)$ ifadesini yeniden yazalım:

  $ f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} $

  $x \neq 2$ olduğu için $(x-2)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:

  $ f(x) = x+2 $ (sadece $x \neq 2$ için geçerlidir)

• 2. Fonksiyonun $x=2$ Noktasındaki Sürekliliğinin İncelenmesi:

  Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması şarttır. Süreklilik için üç koşul sağlanmalıdır:

  1. $f(2)$ tanımlı olmalı. (Tanımlı: $f(2) = 5$)
  2. $ \lim_{x \to 2} f(x) $ mevcut olmalı.
  3. $ \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) $ olmalı.

  Limit değerini hesaplayalım. $x \to 2$ yaklaşırken $x \neq 2$ olduğu için basitleştirilmiş $f(x) = x+2$ ifadesini kullanırız:

  $ \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2+2 = 4 $

  Şimdi limit değeri ile fonksiyonun o noktadaki değerini karşılaştıralım:

  $ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 $ iken $ f(2) = 5 $

  Gördüğümüz gibi, $ \lim_{x \to 2} f(x) \neq f(2) $ ($4 \neq 5$). Bu durumda fonksiyon $x=2$ noktasında sürekli değildir.

• 3. Türevlenebilirlik ve Süreklilik İlişkisi:

  Matematiksel olarak, bir fonksiyon bir noktada sürekli değilse, o noktada türevlenebilir de değildir. Bu kurala göre, $f'(2)$ değeri mevcut olmamalıdır (D seçeneği).

  Ancak, bu tür sorularda bazen, fonksiyonun kaldırılabilir bir süreksizliğe sahip olduğu durumlarda, süreksizliğin giderilmesiyle oluşan "temel" fonksiyonun türevinin sorulduğu varsayılır. Yani, $f(x)$'in $x \neq 2$ için olan kısmının türevi isteniyor olabilir.

• 4. "Temel" Fonksiyonun Türevinin Bulunması:

  Eğer soru, $x \neq 2$ için $f(x)$'in basitleştirilmiş hali olan $g(x) = x+2$ fonksiyonunun türevini $x=2$ noktasında istiyorsa, bu durumda türevi hesaplayabiliriz:

  $ g(x) = x+2 $

  Bu fonksiyonun türevi:

  $ g'(x) = \frac{d}{dx}(x+2) = 1 $

• 5. Türev Değerinin Hesaplanması:

  Şimdi $g'(x)$'i $x=2$ noktasında değerlendirelim:

  $ g'(2) = 1 $

Bu yorumla, doğru cevap B seçeneği olan $1$ değerine ulaşırız. Sorunun yapısı gereği, süreksizliğe rağmen bu "temel" fonksiyonun türevinin sorulduğu anlaşılmaktadır.

Cevap B seçeneğidir.