sin(ax) / tan(bx) limiti kuralı Test 2

lim_x→0 sin(8x)/tan(2x) limitinin sonucu kaçtır?

A) 1/4
B) 4
C) 8
D) 2

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, trigonometrik fonksiyonlar içeren bir limit sorusunu adım adım çözeceğiz. Bu tür limit sorularında genellikle bilinen standart limit formüllerini kullanırız. Hazırsanız başlayalım!

• 1. Adım: Belirsizliği Tespit Etme

  Öncelikle, $x \to 0$ iken ifadenin neye yaklaştığını kontrol edelim. Pay ve paydayı ayrı ayrı inceleyelim:

  • Pay: $\sin(8x)$ ifadesinde $x \to 0$ olduğunda, $\sin(8 \cdot 0) = \sin(0) = 0$ olur.
  • Payda: $\tan(2x)$ ifadesinde $x \to 0$ olduğunda, $\tan(2 \cdot 0) = \tan(0) = 0$ olur.

  Bu durumda, limitimiz $\frac{0}{0}$ belirsiz formundadır. Bu, ifadenin daha fazla basitleştirilmesi veya özel limit kurallarının uygulanması gerektiği anlamına gelir.

• 2. Adım: Standart Trigonometrik Limitleri Hatırlama

  Trigonometrik limitlerde sıkça kullandığımız iki önemli kural vardır:

  • $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$
  • $\lim_{u \to 0} \frac{\tan(u)}{u} = 1$

  Bu kuralları kullanarak verilen ifadeyi bu formlara benzetmeye çalışacağız.

• 3. Adım: İfadeyi Yeniden Düzenleme

  Verilen limiti bu standart formlara uygun hale getirmek için payı ve paydayı uygun terimlerle çarpıp böleceğiz:

  $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(8x)}{\tan(2x)}$

  Paydaki $\sin(8x)$ ifadesini $\frac{\sin(8x)}{8x}$ formuna getirmek için payı $8x$ ile çarpıp bölelim. Paydadaki $\tan(2x)$ ifadesini $\frac{\tan(2x)}{2x}$ formuna getirmek için paydayı $2x$ ile çarpıp bölelim:

  $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(8x)}{8x} \cdot 8x}{\frac{\tan(2x)}{2x} \cdot 2x}$

  Şimdi ifadeyi yeniden düzenleyelim:

  $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\frac{\sin(8x)}{8x}}{\frac{\tan(2x)}{2x}} \cdot \frac{8x}{2x} \right)$

• 4. Adım: Cebirsel İfadeyi Sadeleştirme

  İfadenin cebirsel kısmını sadeleştirelim:

  $\frac{8x}{2x} = 4$ (Burada $x \neq 0$ olduğu için sadeleştirme yapabiliriz, çünkü limit $x$'in $0$'a yaklaştığı durumu inceler, $x$'in $0$ olduğu durumu değil.)

  Böylece limitimiz şu hale gelir:

  $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\frac{\sin(8x)}{8x}}{\frac{\tan(2x)}{2x}} \cdot 4 \right)$

• 5. Adım: Limitleri Uygulama

  Şimdi limit özelliklerini kullanarak her bir parçanın limitini alalım:

  • $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(8x)}{8x} = 1$ (Çünkü $u = 8x$ dersek, $x \to 0$ iken $u \to 0$ olur ve $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$.)
  • $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{2x} = 1$ (Çünkü $v = 2x$ dersek, $x \to 0$ iken $v \to 0$ olur ve $\lim_{v \to 0} \frac{\tan(v)}{v} = 1$.)

  Bu değerleri yerine koyarsak:

  $1 \cdot \frac{1}{1} \cdot 4 = 4$

Sonuç olarak, verilen limitin değeri $4$'tür.

Cevap B seçeneğidir.