sin(ax) / tan(bx) limiti kuralı

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{\tan(2x)}\) limitini hesaplayınız.

Bu, en basit hallerden biridir ve doğrudan temel limit kuralları uygulanabilir. 💡 Amacımız, ifadeyi \(\frac{\sin(ax)}{bx}\) veya \(\frac{ax}{\tan(bx)}\) gibi bilinen limitlere dönüştürmektir.

• ➡️ Tanjantı sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım: \(\tan(2x) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\).
• ➡️ İfadeyi yeniden düzenleyelim: \(\frac{\sin(x)}{\tan(2x)} = \frac{\sin(x)}{\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}} = \frac{\sin(x) \cdot \cos(2x)}{\sin(2x)}\).
• ➡️ Sinüs için çift açı formülünü hatırlayalım: \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\). Bunu paydaya uygulayalım.
• ➡️ Yerine koyduğumuzda: \(\frac{\sin(x) \cdot \cos(2x)}{2\sin(x)\cos(x)}\).
• ➡️ \(\sin(x)\) terimleri sadeleşir (çünkü \(x \to 0\) civarında sıfırdan farklıdır): \(\frac{\cos(2x)}{2\cos(x)}\).
• ➡️ Artık limiti doğrudan alabiliriz: \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x)}{2\cos(x)} = \frac{\cos(0)}{2\cos(0)} = \frac{1}{2 \cdot 1}\).

✅ Sonuç: \(\frac{1}{2}\)