Soru:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(-2x)}{\tan(4x)}\) limitini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda negatif bir açı ile karşılaşıyoruz. 💡 Sinüs fonksiyonu tek fonksiyon olduğu için \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\) kuralını kullanacağız.
- ➡️ İlk adım, sinüsteki negatif işareti dışarı almak: \(\sin(-2x) = -\sin(2x)\).
- ➡️ Böylece limit ifademiz: \(\lim_{x \to 0} \frac{-\sin(2x)}{\tan(4x)} = -\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\tan(4x)}\) olur.
- ➡️ Şimdi tanjantı sinüs ve kosinüse çevirelim: \(\tan(4x) = \frac{\sin(4x)}{\cos(4x)}\).
- ➡️ İfadeyi düzenleyelim: \(-\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\frac{\sin(4x)}{\cos(4x)}} = -\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) \cdot \cos(4x)}{\sin(4x)}\).
- ➡️ Pay ve paydayı içlerindeki açılara bölelim: \(-\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(2x)}{2x} \cdot 2x}{\frac{\sin(4x)}{4x} \cdot 4x} \cdot \cos(4x) = -\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(2x)}{2x}}{\frac{\sin(4x)}{4x}} \cdot \frac{2x}{4x} \cdot \cos(4x)\).
- ➡️ \(x \to 0\) iken tüm sinüs oranları 1'e ve \(\cos(4x)\) de 1'e gider. Yerine koyalım: \( - \left( \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{4} \cdot 1 \right) \).
- ➡️ Bu ifadeyi sadeleştirirsek: \( - \frac{1}{2} \).
✅ Sonuç: \(-\frac{1}{2}\)
