Soru:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{\tan(\frac{7x}{2})}\) limitini bulunuz.
Çözüm:
Bu örnekte, pay ve paydadaki açılar birbirinin tam katı değil. 💡 Ancak yine de aynı yöntemle çözülebilir. Dikkatli olmamız gereken nokta, açıları doğru bir şekilde oranlamaktır.
- ➡️ İlk adım, tanjantı sinüs ve kosinüs cinsinden yazmak: \(\tan(\frac{7x}{2}) = \frac{\sin(\frac{7x}{2})}{\cos(\frac{7x}{2})}\).
- ➡️ İfadeyi düzenleyelim: \(\frac{\sin(7x)}{\tan(\frac{7x}{2})} = \frac{\sin(7x)}{\frac{\sin(\frac{7x}{2})}{\cos(\frac{7x}{2})}} = \frac{\sin(7x) \cdot \cos(\frac{7x}{2})}{\sin(\frac{7x}{2})}\).
- ➡️ Paydaki \(\sin(7x)\) ifadesini, paydadaki \(\sin(\frac{7x}{2})\) cinsinden yazmak için bir ilişki kuralım. \(\sin(7x) = \sin(2 \cdot \frac{7x}{2}) = 2\sin(\frac{7x}{2})\cos(\frac{7x}{2})\).
- ➡️ Bu eşitliği limit ifademizde yerine koyalım: \(\frac{ [2\sin(\frac{7x}{2})\cos(\frac{7x}{2})] \cdot \cos(\frac{7x}{2}) }{\sin(\frac{7x}{2})} = \frac{2\sin(\frac{7x}{2})\cos^2(\frac{7x}{2})}{\sin(\frac{7x}{2})}\).
- ➡️ \(\sin(\frac{7x}{2})\) terimleri sadeleşir: \(2\cos^2(\frac{7x}{2})\).
- ➡️ Şimdi limiti alalım: \(\lim_{x \to 0} 2\cos^2(\frac{7x}{2}) = 2 \cdot [\cos(0)]^2 = 2 \cdot (1)^2\).
✅ Sonuç: \(2\)
