Soru:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\tan(5x)}\) limitini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu limit, temel trigonometrik limit kurallarını kullanarak çözülebilir. 💡 Temel kuralımız: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1\) ve \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(\theta)}{\theta} = 1\)'dir.
- ➡️ İlk adım, tanjantı sinüs ve kosinüs cinsinden yazmaktır: \(\tan(5x) = \frac{\sin(5x)}{\cos(5x)}\).
- ➡️ İfadeyi yeniden düzenleyelim: \(\frac{\sin(3x)}{\tan(5x)} = \frac{\sin(3x)}{\frac{\sin(5x)}{\cos(5x)}} = \frac{\sin(3x) \cdot \cos(5x)}{\sin(5x)}\).
- ➡️ Şimdi limiti alalım: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) \cdot \cos(5x)}{\sin(5x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\sin(5x)} \cdot \cos(5x)\).
- ➡️ Pay ve paydayı, içlerindeki açılara bölelim: \(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(3x)}{3x} \cdot 3x}{\frac{\sin(5x)}{5x} \cdot 5x} \cdot \cos(5x) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(3x)}{3x}}{\frac{\sin(5x)}{5x}} \cdot \frac{3x}{5x} \cdot \cos(5x)\).
- ➡️ \(x \to 0\) iken \(\frac{\sin(3x)}{3x} \to 1\), \(\frac{\sin(5x)}{5x} \to 1\) ve \(\cos(5x) \to 1\) olur.
- ➡️ Bu değerleri yerine koyarsak: \( \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5}\).
✅ Sonuç: \(\frac{3}{5}\)
