Bir top, yerden 10 metre yükseklikten yatay olarak 20 m/s hızla atılıyor. Topun yüksekliğinin zamana bağlı denklemi h(t) = -5t² + 20t + 10 olduğuna göre, top maksimum yüksekliğe kaçıncı saniyede ulaşır?
A) 1Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, bir topun fırlatıldıktan sonraki yüksekliğini zamana bağlı olarak gösteren bir denklem verilmiş ve bizden topun maksimum yüksekliğe ulaştığı anı bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, genellikle parabolik hareketleri ve ikinci dereceden denklemlerin özelliklerini anlamamızı gerektirir.
Öncelikle, bize verilen yüksekliğin zamana bağlı denklemini inceleyelim:
$h(t) = -5t^2 + 20t + 10$
Bu denklem, bir parabol denklemi şeklindedir ($at^2 + bt + c$). $t^2$ teriminin katsayısı ($-5$) negatif olduğu için, bu parabol aşağı doğru açılır. Aşağı doğru açılan bir parabolün en yüksek noktası, onun tepe noktasıdır. Topun maksimum yüksekliğe ulaştığı anı bulmak için bu parabolün tepe noktasının $t$ (zaman) koordinatını bulmamız gerekir.
Bir parabolün tepe noktasının $t$ koordinatını (veya genellikle $x$ koordinatını) bulmak için kullanılan genel formül şöyledir:
$t = -\frac{b}{2a}$
Burada, $a$ ve $b$ değerleri $at^2 + bt + c$ şeklindeki genel ikinci dereceden denklemden gelir.
Şimdi, verilen $h(t) = -5t^2 + 20t + 10$ denklemini genel parabol denklemi $at^2 + bt + c$ ile karşılaştıralım. Bu durumda katsayılarımız şunlardır:
$a = -5$ (Bu, $t^2$ teriminin katsayısıdır.)
$b = 20$ (Bu, $t$ teriminin katsayısıdır.)
$c = 10$ (Bu, sabit terimdir ve başlangıç yüksekliğini temsil eder.)
Gördüğünüz gibi, $a$ ve $b$ değerlerini belirledik. Şimdi bu değerleri tepe noktası formülünde yerine koyabiliriz.
Belirlediğimiz $a$ ve $b$ değerlerini tepe noktası formülünde yerine koyarak $t$ değerini hesaplayalım:
$t = -\frac{20}{2 \times (-5)}$
$t = -\frac{20}{-10}$
$t = 2$
Bu sonuç, topun maksimum yüksekliğe 2. saniyede ulaşacağını gösterir. Yani, top fırlatıldıktan 2 saniye sonra en yüksek noktasına çıkacaktır.
Cevap B seçeneğidir.
