AYT Matematik konuları Test 1

Bir ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm ve m(∠A) = 60° dir. |BC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

A) 2√7
B) 2√13
C) 4√3
D) 2√19
E) 10

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle bir üçgende verilmeyen kenar uzunluğunu bulma sorusunu adım adım çözeceğiz. Bu tür soruları çözerken genellikle Kosinüs Teoremi'ni kullanırız. Haydi başlayalım!

• 1. Adım: Verilen Bilgileri Belirleyelim

  Soruda bize bir ABC üçgeni verilmiş. Bu üçgenin kenar uzunlukları ve bir açısı hakkında şu bilgiler mevcut:

  $|AB| = 8$ cm

  $|AC| = 6$ cm

  $m(\angle A) = 60^\circ$

  Bizden istenen ise $|BC|$ kenarının uzunluğunu bulmaktır.

• 2. Adım: Hangi Teoremi Kullanacağımıza Karar Verelim

  Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenar uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanırız. Kosinüs Teoremi'nin genel formülü şöyledir:

  Bir ABC üçgeninde $a, b, c$ kenar uzunlukları ve $A$ açısı için:

  $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$

  Burada $a$ kenarı $A$ açısının karşısındaki kenardır.

• 3. Adım: Verilenleri Teoreme Uygulayalım

  Şimdi sorumuzdaki değerleri Kosinüs Teoremi formülüne yerleştirelim:

  Aradığımız kenar $|BC|$ olduğu için $a = |BC|$

  Diğer kenarlar $b = |AC| = 6$ cm ve $c = |AB| = 8$ cm

  Bilinen açı $A = m(\angle A) = 60^\circ$

  Formülü uyarlarsak:

  $|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |AB| \cdot \cos(m(\angle A))$

  $|BC|^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$

• 4. Adım: Hesaplamaları Yapalım

  Şimdi denklemi adım adım çözelim:

  $6^2 = 36$

  $8^2 = 64$

  $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$ (Bu değeri bilmek önemlidir!)

  Bu değerleri denklemde yerine koyalım:

  $|BC|^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$

  $|BC|^2 = 100 - (2 \cdot \frac{1}{2}) \cdot 48$

  $|BC|^2 = 100 - 1 \cdot 48$

  $|BC|^2 = 100 - 48$

  $|BC|^2 = 52$

• 5. Adım: Sonucu Bulalım ve Sadeleştirelim

  Şimdi $|BC|$ değerini bulmak için karekök alalım:

  $|BC| = \sqrt{52}$

  Karekök içindeki sayıyı sadeleştirebiliriz. $52 = 4 \cdot 13$ olduğu için:

  $|BC| = \sqrt{4 \cdot 13}$

  $|BC| = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13}$

  $|BC| = 2\sqrt{13}$ cm

Bu durumda, hesaplamalarımıza göre $|BC|$ kenarının uzunluğu $2\sqrt{13}$ cm'dir.

Cevap A seçeneğidir.