ABC ve DEF üçgenlerinde |AB| = 6 cm, |BC| = 8 cm, |AC| = 10 cm ve |DE| = 9 cm, |EF| = 12 cm, |DF| = 15 cm ölçüleri veriliyor. Bu üçgenlerin benzer olabilmesi için hangi koşulun sağlanması gerekir?
A) Açı-Açı-Açı benzerliğiSevgili öğrenciler,
Bu soruda, iki üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve bu üçgenlerin benzer olabilmesi için hangi koşulun sağlanması gerektiği soruluyor. Aslında, üçgenlerin benzer olup olmadığını mevcut bilgilerle kontrol edebiliriz.
Öncelikle verilen kenar uzunluklarını listeleyelim:
ABC üçgeni için: $|AB| = 6$ cm, $|BC| = 8$ cm, $|AC| = 10$ cm
DEF üçgeni için: $|DE| = 9$ cm, $|EF| = 12$ cm, $|DF| = 15$ cm
İki üçgenin benzer olabilmesi için üç temel benzerlik kuralı vardır: Açı-Açı-Açı (AAA), Kenar-Açı-Kenar (KAK) ve Kenar-Kenar-Kenar (KKK). Bize sadece kenar uzunlukları verildiği için, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralını kontrol etmeliyiz. Bu kurala göre, karşılıklı kenar uzunluklarının oranlarının eşit olması gerekir.
Bunun için, her üçgenin en kısa, orta ve en uzun kenarlarını eşleştirip oranlarını bulalım:
ABC üçgeninde kenarlar: 6 cm (en kısa), 8 cm (orta), 10 cm (en uzun)
DEF üçgeninde kenarlar: 9 cm (en kısa), 12 cm (orta), 15 cm (en uzun)
Şimdi karşılıklı kenarların oranlarını bulalım:
En kısa kenarların oranı: $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{6}{9}$
Orta kenarların oranı: $\frac{|BC|}{|EF|} = \frac{8}{12}$
En uzun kenarların oranı: $\frac{|AC|}{|DF|} = \frac{10}{15}$
Hesapladığımız oranları en sade hallerine getirelim:
$\frac{6}{9}$ kesrini sadeleştirirsek (hem payı hem de paydayı 3'e bölersek): $\frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$
$\frac{8}{12}$ kesrini sadeleştirirsek (hem payı hem de paydayı 4'e bölersek): $\frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$
$\frac{10}{15}$ kesrini sadeleştirirsek (hem payı hem de paydayı 5'e bölersek): $\frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$
Gördüğümüz gibi, karşılıklı kenar uzunluklarının oranları birbirine eşittir ve hepsi $\frac{2}{3}$'e denktir. Bu durum, Kenar-Kenar-Kenar (KKK) benzerlik kuralının sağlandığını gösterir. Yani, bu iki üçgen zaten benzerdir.
Ek bir bilgi olarak, Pisagor teoremini kontrol edebiliriz:
ABC üçgeni için: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Ve $10^2 = 100$. Yani $6^2 + 8^2 = 10^2$ olduğundan ABC bir dik üçgendir.
DEF üçgeni için: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. Ve $15^2 = 225$. Yani $9^2 + 12^2 = 15^2$ olduğundan DEF de bir dik üçgendir.
İki üçgenin de dik üçgen olması ve kenar oranlarının eşit olması, onların benzer olduğunu bir kez daha doğrular.
Soru, "Bu üçgenlerin benzer olabilmesi için hangi koşulun sağlanması gerekir?" diye sorduğu için ve biz üçgenlerin zaten benzer olduğunu bulduğumuz için, ek bir koşulun sağlanmasına gerek yoktur.
Cevap D seçeneğidir.
