ABC üçgeninde m(∠A) = 40°, |AB| = 10 cm, |AC| = 12 cm ve DEF üçgeninde m(∠D) = 40°, |DE| = 15 cm, |DF| = 18 cm ölçüleri veriliyor. Bu üçgenlerin benzer olabilmesi için hangi koşul gereklidir?
A) Kenar-Kenar-Kenar benzerliği
B) Kenar-Açı-Kenar benzerliği
C) Açı-Açı benzerliği
D) Hiçbiri, üçgenler zaten benzerdir
Bu soruda, iki üçgenin benzer olabilmesi için hangi koşulun gerekli olduğunu bulmamız isteniyor. Üçgenlerin benzerliği, onların aynı şekle sahip olması ancak boyutlarının farklı olabilmesi anlamına gelir. Benzer üçgenlerde karşılıklı açılar eşittir ve karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir.
Şimdi verilen bilgilere bakalım ve benzerlik koşullarını hatırlayalım:
- Verilen Bilgiler:
- ABC üçgeninde: $m(\angle A) = 40^\circ$, $|AB| = 10$ cm, $|AC| = 12$ cm.
- DEF üçgeninde: $m(\angle D) = 40^\circ$, $|DE| = 15$ cm, $|DF| = 18$ cm.
Üçgenlerde başlıca üç benzerlik kuralı vardır:
- Kenar-Kenar-Kenar (K-K-K) Benzerliği: Üçgenlerin tüm kenar uzunlukları oranlıysa.
- Açı-Açı (A-A) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşitse (üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olur).
- Kenar-Açı-Kenar (K-A-K) Benzerliği: İki üçgenin karşılıklı birer açısı eşit ve bu eşit açının kolları olan kenarların oranları birbirine eşitse.
Şimdi elimizdeki bilgilere göre bu kuralları değerlendirelim:
- 1. Açılar:
- ABC üçgeninde $m(\angle A) = 40^\circ$.
- DEF üçgeninde $m(\angle D) = 40^\circ$.
- Gördüğümüz gibi, birer açılarının ölçüleri eşit: $m(\angle A) = m(\angle D)$. Bu, Açı-Açı benzerliği için bir başlangıç olabilir, ancak sadece bir açı çifti biliyoruz. K-A-K benzerliği için ise bu eşit açı bizim "Açı" kısmımızı oluşturuyor.
- 2. Kenarlar:
- Eşit olan açının (A ve D) kolları olan kenarları inceleyelim.
- ABC üçgeninde A açısının kolları $|AB| = 10$ cm ve $|AC| = 12$ cm.
- DEF üçgeninde D açısının kolları $|DE| = 15$ cm ve $|DF| = 18$ cm.
- 3. Kenar Oranlarını Kontrol Edelim:
- K-A-K benzerliği için, eşit açının kollarının oranlarının eşit olması gerekir. Yani, $\frac{|AB|}{|DE|}$ ile $\frac{|AC|}{|DF|}$ oranlarının eşit olup olmadığını kontrol etmeliyiz.
- İlk oran: $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{10}{15}$. Bu oranı sadeleştirirsek, her iki tarafı 5'e bölerek $\frac{2}{3}$ elde ederiz.
- İkinci oran: $\frac{|AC|}{|DF|} = \frac{12}{18}$. Bu oranı sadeleştirirsek, her iki tarafı 6'ya bölerek $\frac{2}{3}$ elde ederiz.
- Gördüğümüz gibi, $\frac{|AB|}{|DE|} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ ve $\frac{|AC|}{|DF|} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$. Kenar oranları birbirine eşittir!
- 4. Sonuç:
- İki üçgenin birer açısı eşit ($m(\angle A) = m(\angle D) = 40^\circ$) ve bu eşit açının kolları olan kenarların oranları da birbirine eşit ($\frac{2}{3}$). Bu durum, tam olarak Kenar-Açı-Kenar (K-A-K) benzerliği koşulunu sağlamaktadır.
- Diğer seçenekleri neden elemediğimizi de kısaca açıklayalım:
- A) Kenar-Kenar-Kenar benzerliği: Tüm kenar uzunluklarını bilmiyoruz (örneğin $|BC|$ ve $|EF|$).
- C) Açı-Açı benzerliği: Sadece bir çift eşit açı biliyoruz. İkinci bir çift eşit açıya ihtiyacımız var.
- D) Hiçbiri, üçgenler zaten benzerdir: Soru, benzer olabilmesi için hangi koşulun gerekli olduğunu soruyor, yani benzerliği kanıtlamak için hangi kuralı kullanacağımızı soruyor.
Bu durumda, verilen bilgiler Kenar-Açı-Kenar benzerliği için yeterlidir ve bu koşul gereklidir.
Cevap B seçeneğidir.
