Faktöriyel nedir Test 2

4. \( n \) bir doğal sayı olmak üzere, \( \frac{(n+2)!}{n!} = 42 \) eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre \( n \) kaçtır?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Faktöriyel kavramını kullanarak bir denklemi çözmemiz gerekiyor.

• 1. Adım: Faktöriyel Kavramını Hatırlayalım

Faktöriyel, bir doğal sayının kendisinden başlayarak 1'e kadar olan tüm doğal sayılarla çarpımını ifade eder. Örneğin, $k! = k \times (k-1) \times (k-2) \times \dots \times 1$. Bu tanıma göre, büyük bir faktöriyeli daha küçük bir faktöriyel cinsinden yazabiliriz. Örneğin:

• $(n+2)! = (n+2) \times (n+1) \times n \times (n-1) \times \dots \times 1$
• Bu ifadeyi $n!$ cinsinden yazarsak: $(n+2)! = (n+2) \times (n+1) \times n!$ olur.
• 2. Adım: Verilen Eşitliği Sadeleştirelim

Şimdi bu bilgiyi soruda verilen eşitlikte yerine koyalım: $ \frac{(n+2)!}{n!} = 42 $

$(n+2)!$ yerine $(n+2) \times (n+1) \times n!$ yazarsak:

$ \frac{(n+2) \times (n+1) \times n!}{n!} = 42 $

Pay ve paydadaki $n!$ ifadeleri birbirini götürür (sadeleşir). Böylece elimizde daha basit bir denklem kalır:

$ (n+2) \times (n+1) = 42 $

• 3. Adım: Denklemi Çözelim

Şimdi bu denklemi açarak bir ikinci dereceden denklem elde edelim:

$ n \times n + n \times 1 + 2 \times n + 2 \times 1 = 42 $

$ n^2 + n + 2n + 2 = 42 $

$ n^2 + 3n + 2 = 42 $

Eşitliğin sağındaki 42'yi sol tarafa atarak denklemi sıfıra eşitleyelim:

$ n^2 + 3n + 2 - 42 = 0 $

$ n^2 + 3n - 40 = 0 $

• 4. Adım: İkinci Dereceden Denklemi Çarpanlarına Ayıralım

Bu ikinci dereceden denklemi çözmek için çarpanlarına ayırma yöntemini kullanabiliriz. Çarpımları $-40$ ve toplamları $3$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $8$ ve $-5$'tir ($8 \times (-5) = -40$ ve $8 + (-5) = 3$).

Denklemi çarpanlarına ayırırsak:

$ (n+8)(n-5) = 0 $

Bu eşitliğin sağlanabilmesi için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir:

• $n+8 = 0 \Rightarrow n = -8$
• $n-5 = 0 \Rightarrow n = 5$
• 5. Adım: "n" Bir Doğal Sayı Olma Koşulunu Kontrol Edelim

Soruda $n$'nin bir doğal sayı olduğu belirtilmiştir. Doğal sayılar kümesi $ \{0, 1, 2, 3, \dots\} $ veya bazı tanımlamalara göre $ \{1, 2, 3, \dots\} $ şeklindedir. Her iki durumda da negatif sayılar doğal sayı değildir.

• Bulduğumuz $n = -8$ değeri bir doğal sayı değildir. Bu yüzden bu çözümü eleriz.
• Bulduğumuz $n = 5$ değeri bir doğal sayıdır. Bu çözüm geçerlidir.
• 6. Adım: Sonucu Belirleyelim

Tüm adımları tamamladığımızda, $n$ değerinin $5$ olması gerektiğini buluruz.

Cevap B seçeneğidir.