ln(x) fonksiyonunun türevi Test 1

$y = ln(x^2 + 1)$ fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{1}{x^2 + 1}$
B) $\frac{2x}{x^2 + 1}$
C) $\frac{x}{x^2 + 1}$
D) $\frac{2}{x^2 + 1}$

Bugün, doğal logaritma fonksiyonunun türevini nasıl alacağımızı adım adım öğreneceğiz. Fonksiyonumuz $y = \ln(x^2 + 1)$. Bu tür fonksiyonların türevini alırken zincir kuralını kullanmamız gerektiğini unutmayın.

• Adım 1: Temel Türev Kuralını Hatırlayalım

  Doğal logaritma fonksiyonunun türevini alırken kullandığımız temel kural şudur: Eğer $y = \ln(u)$ şeklinde bir fonksiyonumuz varsa, bu fonksiyonun türevi $y' = \frac{u'}{u}$ formülü ile bulunur. Burada $u$, $x$'e bağlı bir fonksiyondur ve $u'$, $u$'nun $x$'e göre türevidir.

• Adım 2: Fonksiyonumuzdaki $u$ ve $u'$ Değerlerini Belirleyelim

  Verilen fonksiyon $y = \ln(x^2 + 1)$ olduğuna göre, burada $u$ fonksiyonu $x^2 + 1$ olarak görülebilir. Yani, $u = x^2 + 1$.

  Şimdi $u$'nun türevi olan $u'$ değerini bulmalıyız:

  $u = x^2 + 1$

  $u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1)$

  $u' = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(1)$ (Toplamın türevi kuralını uyguladık)

  $u' = 2x + 0$ (Kuvvet kuralı ve sabit sayının türevi kuralını uyguladık)

  $u' = 2x$

  Yani, $u' = 2x$ olarak bulunur.

• Adım 3: Türev Formülünde Yerine Koyalım

  Şimdi bulduğumuz $u = x^2 + 1$ ve $u' = 2x$ değerlerini $y' = \frac{u'}{u}$ formülünde yerine koyalım:

  $y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$

• Adım 4: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz türev $y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$ şeklindedir. Bu sonucu verilen seçeneklerle karşılaştırdığımızda, B seçeneğinin doğru olduğunu görürüz.

Cevap B seçeneğidir.